Почему многие математики предпочитают алгебру анализу?

817
105
1
Лучший ответ
825

Когда я был аспирантом в Беркли, у меня был такой опыт. Я обедал с 8–10 студентами-математиками, и болтовня превратилась в арахисовое масло. Некоторые люди предпочитали сливочные, некоторые хрустящие. Я осмотрел таблицу и пришел к выводу, что все алгебраисты и логики предпочитали хрустящие, а все геометры и аналитики предпочитали гладкие! Каким-то образом факторы, которые повлияли на их предпочтения в математике, настолько глубоко проникли в их мозг, что повлияли на их кулинарные предпочтения.

С тех пор я проверил этот результат на других студентах-математиках и математиках и обнаружил, что среди людей, очень активно занимающихся математикой, корреляция сохраняется примерно в 80% случаев. Среди людей, которые интересовались математикой, но не были сильно связаны с ней, корреляция была менее сильной.

Я предполагаю, что люди, которые обычно предпочитают дискретные вещи, больше привлекаются к дискретным объектам и пошаговым аргументам в алгебре; а людей, которые предпочитают гладкие непрерывные вещи, привлекают гладкие изогнутые объекты и математические дискуссии, касающиеся условий гладкости, непрерывности, связности, формы и кривизны.

Я признаюсь, что, будучи первокурсником колледжа, я был очень взволнован алгеброй, вероятно, потому что у меня было два вдохновляющих семестра современной алгебры. В мой второй год два еще более вдохновляющих семестра топологии и дифференциальной геометрии помогли мне найти истинный призыв к гладкому арахисовому маслу. Позже я узнал, что современная алгебра, в частности тензорная алгебра, является чрезвычайно мощным инструментом для понимания дифференциальной геометрии.

На мой взгляд, люди, которые предпочитают геометрию, более интуитивны, а люди, которые предпочитают алгебру, больше заинтересованы в строгих доказательствах.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
785

Как человек, который предпочитает алгебру анализу, я могу дать личный ответ на вопрос.

Как и многие люди, которые изучали математику в университете, у меня были курсы по анализу, линейной алгебре, цифрам и тому подобное. Честно говоря, многое из того, что я должен был выучить, было не очень интересно для меня.

Затем начался курс по алгебре. Важно отметить, что когда люди в математике говорят об алгебре, мы не подразумеваем просто решение для х здесь. Мы говорим об абстрактных математических структурах (давайте даже не будем вдаваться в то, почему это связано здесь).

Сначала я понятия не имел, что происходит. Мы всегда кратко повторяли теорию множеств и ее совпадения с другими предметами на курсах, но это было нечто иное. Кольца, поля, группы, морфизмы, все виды вещей. В доказательствах часто использовалось столько терминов, что мне приходилось искать их, а затем искать термины, используемые в этих терминах. Доказательства могут быть такими сжатыми. Это было тяжело, это было интересно, и я просто чувствовал, что там что-то есть.

В анализе, кажется, очень ясно, что происходит. Создание последовательностей, рядов, определение таких вещей, как пределы, чтобы иметь возможность изучать теорию, а затем практически использовать инструменты в анализе, чтобы дифференцировать, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и так далее. Это было больше похоже на набор инструментов для практической математики и физики. Казалось, что даже более высокий анализ множественных переменных, многообразий или сложного анализа (хотя я делаю исключение для геометрии Римана, мне это очень понравилось).

После университета я продолжал жить своей жизнью, как люди. Часто работаю в областях, которые действительно не требуют большей части того, что я изучил.

Но однажды я столкнулся с чем-то, что требовало хороших математических структур. Я вытащил свои вещи из теории групп, попал в алгебраические решетки, все виды вещей, и в конечном итоге каким-то образом затерялся в теории категорий. Это было около 4 лет назад. Честно говоря, я работаю над этим регулярно с тех пор. Есть что-то очень полезное в изучении этих структур.

Это заставляет меня чувствовать, что я учусь думать лучше, учиться распознавать и мыслить в структурах, абстракциях и логике намного лучше. Я стараюсь подходить к проблемам не так, как кто-то, кто занимается анализом и хочет рассчитать ответ, и больше как кто-то, кто хочет классифицировать наиболее абстрактную структуру, которая объединяет воедино то, на что я смотрю, с другими вещами, а затем применяю самые простые выводы, чтобы выяснить что-то гораздо больше, чем я видел перед собой.

Это даже помогло мне глубже проникнуть в философию с помощью логики и конструктивизма.

Это только мое мнение, и я уверен, что если бы один из моих любимых профессоров из университета, который специализировался на анализе, прочел бы это, он бы сильно не согласился, но это просто заставляет меня чувствовать себя счастливым. Мне не нужно делать это, чтобы решить проблему, сдать экзамен или даже работать, я просто делаю это из любопытства. Я не думаю, что многие темы в анализе могут так привлекать мое внимание.

Так что попробуйте. Посмотрите, что вы думаете. Я надеюсь, что вы также можете найти красоту в абстрактных структурах.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
168

Это мое собственное мнение из моего собственного исследования анализа и алгебры. Обратите внимание, что я физик, а не математик, и мое собственное изучение предметов более практично и менее формально. Что, как говорится:

Алгебра проще, для меня все равно. Это набор причудливых способов умножения на 1 или добавления 0 к уравнению или системе уравнений. Есть несколько правил, которые, если их придерживаться, можно передвигать и пытаться получить лучшее представление о том, как должен выглядеть ответ. Изучение алгебры, по сути, похоже на то, как будто вы плотник, изучающий, как использовать некоторые простые инструменты, которые уже существуют, для выполнения работы, у вас есть смутное представление о том, как должна выглядеть конечная точка, например, когда плотник использует молоток и пилу, чтобы построить дом.

Анализ немного сложнее. Это изучение бесконечных процессов. Вы можете построить математическое понимание, начав с нескольких предположений, а затем следуя этим предположениям до их логических выводов, чтобы увидеть, где вы оказались. После многих таких предположений и выполнения вы можете приступить к созданию правил, которые можно считать алгеброй. Таким образом, теперь вы стали кузнецом, а не плотником, начиная с куска железа, глины и леса. Вы должны сначала сделать несколько кирпичей, чтобы построить кузницу. Затем вы можете сжечь дрова, чтобы получить тепло. Вы можете использовать это тепло, чтобы расплавить железо в тигле (который вы сделали из глины). Вылейте это железо в форму (которую вы сделали сами). И так далее. Если вы хотите что-то сделать в анализе, вы должны сначала разработать инструменты для выполнения этой работы. В конце концов, вполне возможно, что у вас есть все необходимые инструменты для постройки дома, но проще начать с молотка и гвоздя, чем делать один из ничего.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
169

Потому что делать грязные вычисления и находить в них разоблачающий шаблон сложно. Терренс Тао сделал это так же легко, как и изучение предварительных исчислений. Но это действительно сложный процесс. Алгебра имеет естественную структуру, и до тех пор, пока грязные вычисления не входят в картину, люди могут предположить, что она не существует. В анализе вычисления - это просто факт жизни, на котором можно жить.

Чтобы сделать контраст более прямым - вы предпочитаете использовать инструменты командной строки для обработки изображений, а не использовать Photoshop через какой-то графический интерфейс? Вы, вероятно, имеете больше свободы с инструментами командной строки, так как вы можете настроить все до каждого пикселя и каждой строки алгоритма. Но иметь структурное понимание картины, глядя на значения матрицы напрямую, сложно. Кажется, нет никакого способа, которым вы можете сделать ретуширование для волос, не увидев картинку в уме. С другой стороны, вы не можете восстановить тусклое изображение размером 1 ГБ, используя только Photoshop. Может помочь разработка лучшего алгоритма, делающего работу попиксельно. Это различие между алгеброй и анализом.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
152

Вероятно, из-за плохого опыта студентов в реальном анализе. Студента, возможно, заставили бы изучать реальный анализ самостоятельно, если бы учитель не сделал хорошую работу по представлению вводного материала в анализе 1. Большинство учеников не собираются тратить 20 часов в неделю на реальный анализ.

Я думаю, что больше людей предпочли бы анализ, если

Они нашли время, чтобы изучить материал самостоятельно. У них был лучший опыт студентов с реальным анализом.

То же самое относится и к другим предметам (таким как численный анализ).

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
123

Я собираюсь быть саркастичным.

Для многих из них, поскольку алгебра кажется более «чистой», и, как следствие, она удовлетворяет желание, сознательное или бессознательное, раскрыть «майю» (реальность / иллюзию в индуизме) и прикоснуться к глубокой реальности вещей.

Я думаю, что они не правы, нет никакой степени реальности! Столп дома не менее и не более реален, чем его крыша.

Для некоторых это нарциссическое удовольствие. Многие понятия анализа используются и были сделаны, чтобы перейти к физике или другой прикладной области. И поэтому мы подготовились к этим понятиям, прежде чем дать им строгую обработку в нашем первом курсе анализа, так что вы не будете чувствовать себя выше других, сравнивая некоторые новые понятия, такие как группы, алгебра ...

Для некоторых, потому что они выбрали это и апостериори обосновывают свой выбор!

Не забывайте, в конце концов, что фундаментальная теорема алгебры нуждается в некотором анализе, чтобы быть доказанным.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
126

Один из ответов описывает предпочтение кусочковидного или гладкого арахисового масла, другой - предпочтительный способ употребления кукурузы. Дайсон описывает дихотомию птиц и лягушек.

Юнг описал 8 когнитивных функций, которые есть у всех людей, но которые не имеют одинакового развития. То, что людям нравится в математике, похоже, связано с их предпочтениями в когнитивных функциях. Одни люди или больше ориентированы на паттерны, другие - на детали. Алгебра, в основном, о моделях. Анализ имеет тенденцию зависеть от того, чтобы замечать детали, находить точно правильный способ разделения чего-либо. Люди, которые больше полагаются на аналитическую мысль, как правило, наслаждаются алгеброй, люди, которые предпочитают последовательную мысль, действительно наслаждаются несколько формальными доказательствами геометрии.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
95

Позвольте мне указать на то, чего не было в других ответах.

Алгебра в значительной степени посвящена дискретным объектам, которые, кажется, имеют очевидное существование независимо от определений. Возьмите целые числа; мы учимся считать малышами. И мы все можем легко понять, что такое простые числа (все, что вам нужно, это умение умножать), «арифметика часов» и основные элементы абстрактной алгебры или, по крайней мере, ее наиболее распространенные примеры.

Анализ, напротив, начинается с определений, которые, несмотря на свою силу и в конечном итоге естественность, пытаются справиться с «пробелами», непрерывностью и другими нематериальными вещами. Дружественная номерная линия требует определения ... Правда? Вы можете подумать, что у вас есть чувство преемственности, но когда вы узнаете, что «инверсные образы открытых множеств открыты», почти все похожи: «Гм, ЧТО?». Даже действительно фундаментальное понятие, такое как компактность, требует некоторой абстракции и знакомство с математикой в ​​стиле теоремы доказательств.

Тем не менее, любой может оценить древнее «алгебраическое» доказательство, что существует бесконечное число простых чисел: если их не было, просто умножьте их все и добавьте 1! Помимо этого, алгебра просто чувствует себя мощной и таинственной с самого начала. Через две недели вашего первого курса по абстрактной алгебре вы сравнительно прямо доказываете высказывания, которые фантастически неочевидны и которые могли бы противостоять любой прямой атаке с использованием математики или математического анализа в средней школе.

Единственное исключение из моей аккуратной маленькой истории - это сложный анализ, который для меня является самой волшебной областью во всей (на уровне начальной школы) математики. Существуют мистические связи, которые выпадают из ниоткуда и допускают некую силу, которая, кажется, не имеет права иметь ее в нашем распоряжении. Когда вы впервые видите Фундаментальную теорему алгебры - грубо говоря, что все полиномиальные уравнения имеют корень - доказано в ОДНОЙ строке, используя простой аргумент о голоморфных функциях, ну, это почти религиозно. То же самое для исчисления вычетов, где «безнадежные» определенные интегралы могут быть вычислены путем вычисления одного коэффициента в их рядах Лорана. И т.п.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
98

Анализ скучен, занят, Рамачандран, работа.

Алгебра это мыслитель математики.

Помните, что вклад Декарта заключался в улучшении геометрии, подождите, алгебра !!!!

Фактически, почти каждый большой математический прогресс произошел из выяснения того, как использовать алгебру для обобщения ответов на сложные аналитические задачи, выявления целого ряда других странных вещей ... и я не могу помочь, но просто использую эти слова: изоморфизм и гиперболичность.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
88

У математиков есть некий общий тип знаний. Они должны, до некоторой степени сложности, иметь дело с обоими. Но, как однажды объяснил наставник, в данной проблеме статистик будет пытаться использовать статистику, геометр умудрится применять геометрию и т. Д. Некоторые современные учащиеся старших классов пишут в журнале запись о том, как эта проблема заставляет их чувствовать.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
87

Вы имеете в виду не только индивидуальные предпочтения?

Я думаю, что это, вероятно, сочетание знакомства и того, как вы думаете о вещах. Я почти всегда рассуждаю геометрически, но это возможно сделать как с помощью алгебры, так и анализа, поэтому у меня нет особых предпочтений. Я предпочел анализ, когда был моложе, так как это было моей специализацией в аспирантуре, но после школы я начал сотрудничать с топологом и освоился с алгебраическими методами, и мои предпочтения закончились.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
81

Инженер здесь.

Анализ сложный, а также мощный. Когда вы дойдете до Анализа III (или IV или выше), вы можете сойти с ума. И это фундаментально для физики. Алгебра (линейная, решение уравнений) кажется проще, но у нее есть определенные «темные стороны», которые нужно очень хорошо продумать, чтобы понять их настоящую «силу». Также необходимо для большого количества физических / технических / технических приложений. Абстрактная алгебра IS (не только кажется) гораздо сложнее, это для мыслителей. Я люблю это, и я понимаю, почему это и боятся, и любят. Я имел обыкновение (также, в дополнение к вышеупомянутому) комбинированный курс алгебры и аналитической геометрии. Он работал очень хорошо, потому что было интересно увидеть «визуализацию» нескольких приложений.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
81

Они делают? Я всегда думал, что математики предпочитают анализ.

В любом случае, мне всегда нравилась алгебра больше, чем анализ, поэтому я могу поделиться своим мнением по этому поводу.

Для меня алгебра - это определение математических структур и изучение их свойств.

Анализ также решает сложные проблемы, но, похоже, он не желает определять математический мир, как это делает алгебра.

Алгебра всегда кажется на стороне «Меты».

Но я также знаю, что разница размывается, чем сложнее математика.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
62

В физике есть такая крутая вещь, которая называется проблемой трех тел.

По сути, учитывая начальное положение, скорость и массу трех вещей, вы должны быть в состоянии понять, как они будут двигаться. Простой пример - Земля, Солнце и Луна.

Теперь вот в чем дело: не существует закрытого решения этой проблемы. В отличие от проблем с одним или двумя телами, не существует повторяемого метода для каждой проблемы с тремя телами. Каждая проблема уникальна и может иметь другой подход к решению.

Это то, что анализ для многих людей, или, по крайней мере, в моем классе средней школы. Рассматриваемые проблемы и концепции не всегда имеют способы решения. В старшей школе это означает, что вы не можете перемалывать проблемы и запоминать методы обучения, как в алгебре. Интуиция и распознавание образов вовлечены, это вещи, которые вы не можете точно перемолоть и запомнить.

Поэтому люди (в том числе и я) склонны бороться за анализ. Это уникальная область математики, которая требует по-разному рассматривать проблемы.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
62

Я очень наглядный человек, и с тех пор в старшей школе всегда отличался геометрическими интерпретациями и избеганием алгебраических объяснений. Я ведь инженер.

Классическая «Оптимизация методами векторного пространства» Люнбергера представляет собой как воплощение графической интерпретации, так и величайшую логическую границу графических методов.

Поскольку я недавно перешел от инженерной оптимизации к области аксиоматической теории множеств, снова и снова ставился в тупик попытка нарисовать картину n алгебраической концепции. Даже когда алгебраическая концепция появилась первой и была ясна как колокол, я не мог нарисовать последовательный рисунок; только аналогичная картина с очевидными неизбежными недостатками аналогий.

Это сохранилось до такой степени, что теперь я сначала обращаюсь к алгебре, а смотрю только на аналогию как форму интеллектуальной «пищи для комфорта». Все истины скрыты в алгебрах, которые все абстрагированы в теории множеств.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
62

У разных математиков разные вкусы. Некоторые предпочитают алгебру, некоторый анализ, некоторую геометрию. Некоторые предпочитают приложения, другие склоняются к чистоте. Я не знаю, есть ли явное большинство для любого из них. Например, предпочтение алгебре не означает, что математик не знает или не любит работать в других областях математики.

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
52

Почему некоторые люди любят есть кукурузу в початках, а другие - по спирали?

Анализ против алгебры предсказывает есть кукурузу?

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
51

Базовая абстрактная алгебра намного легче понять по сравнению с базовым математическим анализом, даже если такие чисто алгебраические сложные темы, как, например, теория Галуа (это действительно Абстрактная алгебра!), Сложнее, чем любая тема в Базовом вещественном или комплексном анализе. Кстати, функциональный анализ (банаховые алгебры, нормированные пространства и т. Д.) - это правильная математическая расширенная структура, которую можно назвать «абстрактной расширенной алгеброй» (вместе с общей топологией - абстрактной геометрией множеств!)

ответил(а) 2019-12-23T15:14:21+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема