Как я могу доказать следующее уравнение?

40
5
1
Лучший ответ
43

Такие формы появляются при попытке решить уравнение Коши – Эйлера, которое представляет собой линейный однородный ОДУ с переменными коэффициентами. Уравнение выглядит так:

worndnydxn + an - 1 xn - 1 дн - 1 ydxn - 1 + ⋯ + a 2 x 2 d 2 ydx 2 + a 1 xdydx + a 0 y = r (x) worndnydxn + an - 1 xn - 1 dn - 1 ydxn - 1 + ⋯ + a 2 x 2 d 2 ydx 2 + a 1 xdydx + a 0 y = r (x) \ displaystyle a_n x ^ n \ frac {d ^ ny} {dx ^ n} + a_ {n-1 } x ^ {n-1} \ frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1}} + \ cdots + a_2 x ^ 2 \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} + a_1 x \ frac {dy} {dx} + a_0 y = r (x)

Чтобы решить эти уравнения, мы обычно пользуемся помощью подстановки t = ln xt = ln xt xt = \ ln x или x = etx = etx = e ^ t и вызываем оператор Δ ≡ ddt Δ ≡ ddt \ Delta \ эквивалент \ tfrac {d} {dt}. В настоящее время,

dydx = dydtdtdx = 1 x Δ ydydx = dydtdtdx = 1 x Δ y \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {dt} \ frac {dt} {dx} = \ frac {1} {x } \ Delta y

d 2 ydx 2 = ddx (1 xdydt) = 1 x 2 (d 2 ydt 2 - dydt) = 1 x 2 Δ (Δ - 1) yd 2 ydx 2 = ddx (1 xdydt) = 1 x 2 (d 2 ydt 2 - dydt) = 1 x 2 Δ (Δ - 1) y \ displaystyle \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \ frac {d} {dx} \ Bigg (\ frac {1} {x} \ frac {dy} {dt} \ Bigg) = \ frac {1} {x ^ 2} \ Bigg (\ frac {d ^ 2 y} {dt ^ 2} - \ frac {dy} {dt} \ Bigg) = \ frac {1} {x ^ 2} \ Delta (\ Delta - 1) y

d 3 ydx 3 = 1 x 3 (d 3 ydt 3 - 3 d 2 ydt 2 + 2 dydt) = 1 x 3 Δ (Δ - 1) (Δ - 2) yd 3 ydx 3 = 1 x 3 (d 3 ydt 3 - 3 d 2 ydt 2 + 2 dydt) = 1 x 3 Δ (Δ - 1) (Δ - 2) y \ displaystyle \ frac {d ^ 3 y} {dx ^ 3} = \ frac {1} {x ^ 3} \ Bigg (\ frac {d ^ 3 y} {dt ^ 3} - 3 \ frac {d ^ 2 y} {dt ^ 2} + 2 \ frac {dy} {dt} \ Bigg) = \ frac {1} {x ^ 3} \ Delta (\ Delta - 1) (\ Delta - 2) y

из которого следует ваше отношение.

Эта замена позволяет нам изменить этот ODE переменных коэффициентов на один с постоянными коэффициентами:

(Δ (Δ - 1) (Δ - 2) ⋯ (Δ - n + 1) + ⋯ + a 3 Δ (Δ - 1) (Δ - 2) + a 2 Δ (Δ - 1) + a 1 Δ + a 0) y = r (x) (Δ (Δ - 1) (Δ - 2) ⋯ (Δ - n + 1) + ⋯ + a 3 Δ (Δ - 1) (Δ - 2) + a 2 Δ (Δ - 1) + a 1 Δ + a 0) y = r (x) \ Big (a_n \ Delta (\ Delta - 1) (\ Delta - 2) \ cdots (\ Delta - n +1) + \ cdots + a_3 \ Delta (\ Delta - 1) (\ Delta - 2) + a_2 \ Delta (\ Delta - 1) + a_1 \ Delta + a_0 \ Big) y = r (x)

ответил(а) 2020-06-03T19:27:38+03:00 2 месяца назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема