Как я могу доказать, что интеграция - это обратный процесс дифференциации? Я ожидаю теоретического доказательства.

862
58
1
Лучший ответ
898

Конечно! Почему нет.

Начнем с доказательства того, что для любой непрерывной вещественной функции f f f и действительного числа a a a,

d d x (∫ x a f (t) d t) = f (x). d d x (∫ a x f (t) d t) = f (x). \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ left (\ int_a ^ x f (t) \ \ text {d} t \ right) = f (x). \тег*{}

По определению производной,

ddx (xaf (t) dt) = lim x → 0 + 1 x (x + xaf (t) dt - xaf (t) dt) lim x → 0 + 1 x x + x Δxxf (t) dt. ddx (∫ axf (t) dt) = lim x → 0 + 1 x ((ax + xf (t) dt - axf (t) dt) = lim x → 0 + 1 x x x + Δxf (t) dt. \ begin {align *} \ frac {d} {dx} \ left (\ int_a ^ xf (t) \ \ text {d} t \ right) & = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {1} {\ Delta x} \ left (\ int_a ^ {x + \ Delta x} f (t) \ \ text {d} t - \ int_a ^ {x} f (t) \ \ text {d} t \ right) \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {1} {\ Delta x} \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (t) \ \ text {d} t , \ end {align *} \ tag * {}

Теперь, поскольку fff непрерывно, если Δx ≈ 0 Δx ≈ 0 \ Delta x \ приблизительно 0, то f (t) ≈ f (x) f (t) ≈ f (x) f (t) \ приблизительное f ( x) для всех x ≤ t ≤ x + Δ xx ≤ t ≤ x + Δ xx \ leq t \ leq x + \ Delta x - по крайней мере, это интуитивная картина, и нам нужно найти способ сделать ее точной , Из определения непрерывности мы знаем, что lim t → xf (t) = f (x) lim t → xf (t) = f (x) \ lim_ {t \ rightarrow x} f (t) = f (x) , Из определения предела следует, что для всех for> 0 ϵ> 0 \ epsilon> 0 существует δ> 0 δ> 0 \ delta> 0 такое, что если | т - х | <δ | т - х | <δ | t - x | <\ delta, тогда | f (t) - f (x) | <ϵ | f (t) - f (x) | <ϵ | f (t) - f (x) | <\ epsilon.

Таким образом, если 0 <Δx <δ 0 <Δx <δ 0 <\ Delta x <\ delta, то для всех x ≤ t ≤ x + Δxx ≤ t ≤ x + Δxx \ leq t \ leq x + \ Дельта х, | т - х | <δ | т - х | <δ | t - x | <\ delta, а следовательно | f (t) - f (x) | <ϵ | f (t) - f (x) | <ϵ | f (t) - f (x) | <\ epsilon. Это побуждает нас переписать наш лимит как

lim x → 0 + 1 x x x x x xf (t) dt = lim x x 0 + 1 x (x + x xf (x) dt + x + x (x (f) -) f (x)) dt). lim x → 0 + 1 x x x + x x (t) dt = lim x x 0 + 1 x (x x + x x (x) dt + x x + x (f (t) -) f (x)) dt). \ begin {align *} \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} & \ frac {1} {\ Delta x} \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (t) \ \ text {d} t \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {1} {\ Delta x} \ left (\ int_x ^ {x + \ Delta x} f (x) \ \ text {d} t + \ int_x ^ {x + \ Delta x} \ left (f (t) - f (x) \ right) \ \ text {d} t \ right). \ end {align *} \ tag * {}

У нас будет основной член M M M и ошибочный член E E E - соответственно,

M E = ∫ x + Δ x x f (x) d t = ∫ x + Δ x x (f (t) - f (x)) d t. M = x x + x x (x) d t E = x x + x (f (t) - f (x)) d t. \ begin {align *} M & = \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (x) \ \ text {d} t \\ E & = \ int_x ^ {x + \ Delta x} \ left (f ( t) - f (x) \ right) \ \ text {d} t. \ end {align *} \ tag * {}

Наша цель состоит в том, чтобы: 1) выяснить, что является основным термином, и 2) связать ошибочный термин, показывая, что он сжимается до нуля в пределе. Первая часть проста:

M = x + x x f (x) d t = f (x) (x + x - x) = f (x) x. M = x x + x x (x) d t = f (x) (x + x - x) = f (x) x. \ begin {align *} M & = \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (x) \ \ text {d} t \\ & = f (x) \ left (x + \ Delta x - x \ right) ) \\ & = f (x) \ Delta x. \ end {align *} \ tag * {}

Вторая часть тоже не так уж и плоха:

| E | = ∣ ∣ ∣ ∫ x + Δ x x (f (t) - f (x)) d t ∣ ∣ ≤ ∫ x + Δ x x | f (t) - f (x) | d t ≤ ∫ x + Δ x x ϵ d t ≤ ϵ Δ x. | E | = | ∫ x x + Δ x (f (t) - f (x)) d t | ≤ ∫ x x + Δ x | f (t) - f (x) | d t ≤ ∫ x x + Δ x ϵ d t ≤ ϵ Δ x. \ begin {align *} | E | & = \ left | \ int_x ^ {x + \ Delta x} \ left (f (t) - f (x) \ right) \ \ text {d} t \ right | \\ & \ leq \ int_x ^ {x + \ Delta x} \ left | f (t) - f (x) \ right | \ \ text {d} t \\ & \ leq \ int_x ^ {x + \ Delta x} \ epsilon \ \ text {d} t \\ & \ leq \ epsilon \ Delta x. \ end {align *} \ tag * {}

Теперь обратите внимание, что по всему, что мы показали выше,

∣ ∣ ∣ ddx (∫ xaf (t) dt) - lim Δ x → 0 + M Δ x ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ lim Δ x → 0 + E Δ x ∣ ∣ lim = lim Δ x → 0 + ∣ ∣ ∣ E Δ x ∣ ∣ ∣ ≤ lim Δ x → 0 + ∣ ∣ ∣ ϵ Δ x Δ x ∣ ∣ ∣ = ϵ. | d d x (x a x f (t) d t) - lim Δ x → 0 + M Δ x | = | lim Δ x → 0 + E Δ x | = lim Δx → 0 + | E Δ x | ≤ lim Δ x → 0 + | x Δ x Δ x | = ϵ. \ begin {align *} \ left | \ frac {d} {dx} \ left (\ int_a ^ xf (t) \ \ text {d} t \ right) - \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {M} {\ Delta x} \ right | & = \ left | \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {E} {\ Delta x} \ right | \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ left | \ frac {E} {\ Delta x} \ right | \\ & \ leq \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ left | \ frac {\ epsilon \ Delta x} {\ Delta x} \ right | \\ & = \ epsilon. \ end {align *} \ tag * {}

Однако это верно для каждого for> 0 ϵ> 0 \ epsilon> 0 (потому что ϵ ϵ \ epsilon был выбран произвольно), и поэтому мы должны заключить, что

∣ ∣ ∣ d d x (∫ x a f (t) d t) - предел Δ x → 0 + M Δ x ∣ ∣ ∣ = 0, | d d x (x a x f (t) d t) - lim Δ x → 0 + M Δ x | = 0, \ displaystyle \ left | \ frac {d} {dx} \ left (\ int_a ^ xf (t) \ \ text {d} t \ right) - \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {M} {\ Delta x} \ right | = 0, \ tag * {}

откуда

ddx (xaf (t) dt) = lim x → 0 + M x = lim x → 0 + xf (x) x = f (x), ddx (axf (t) dt) = lim X → 0 + M x = lim x x 0 x x (x) x = f (x), \ begin {align *} \ frac {d} {dx} \ left (\ int_a ^ xf ( t) \ \ text {d} t \ right) & = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {M} {\ Delta x} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {\ Delta xf (x)} {\ Delta x} = f (x), \ end {align *} \ tag * {}

заканчивая доказательство.

В обратном направлении нам нужно показать, что для любой непрерывно дифференцируемой функции f: [a, b] → R f: [a, b] → R f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R},

A b a f ′ (x) d x = f (b) - f (a). B a b f ′ (x) d x = f (b) - f (a). \ displaystyle \ int_a ^ b f '(x) \ \ text {d} x = f (b) - f (a). \тег*{}

Вот один из способов доказать это, прямо из предыдущего результата. Мы сделаем это, заменив b b b на переменную t t t и доказав равенство функций:

A t a f ′ (x) d x = f (t) - f (a). T a t f ′ (x) d x = f (t) - f (a). \ displaystyle \ int_a ^ t f '(x) \ \ text {d} x = f (t) - f (a). \тег*{}

Мы делаем это следующим образом: сначала отметим, что если t = a t = a t = a, то, очевидно,

A a a f ′ (x) d x = 0 = f (a) - f (a). A a a f ′ (x) d x = 0 = f (a) - f (a). \ displaystyle \ int_a ^ a f '(x) \ \ text {d} x = 0 = f (a) - f (a). \тег*{}

Далее мы покажем, что производные совпадают. Но если две функции имеют одинаковое начальное значение и имеют одинаковые производные, то они являются одной и той же функцией - это простое следствие из теоремы о среднем значении. Однако показать, что производные одинаковы, легко, используя только что доказанный результат:

d d t (∫ t a f ′ (x) d x) = f ′ (t) = d d t (f (t) - f (a)). d d t (t a t f ′ (x) d x) = f ′ (t) = d d t (f (t) - f (a)). \ begin {align *} \ frac {d} {dt} \ left (\ int_a ^ t f '(x) \ \ text {d} x \ right) & = f' (t) \\ & = \ frac { d} {dt} \ left (f (t) - f (a) \ right). \ end {align *} \ tag * {}

Мы сделали.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Как верно указывает Райан Райх в комментариях, доказательство второй части, которое я дал, работает только для непрерывно дифференцируемых функций, но основная теорема исчисления является более общей, чем эта. Итак, давайте сделаем это снова, правильный путь.

Мы хотим показать, что для любой дифференцируемой функции F (x) F (x) F (x), если F ′ (x) = f (x) F ′ (x) = f (x) F '(x) = f (x) и f (x) f (x) f (x) интегрируем по Риману, то

A b a f (x) d x = F (b) - F (a). B a b f (x) d x = F (b) - F (a). \ displaystyle \ int_a ^ b f (x) \ \ text {d} x = F (b) - F (a). \тег*{}

Поскольку я не предполагаю, что f (x) f (x) f (x) непрерывна (что эквивалентно тому, что F (x) F (x) F (x) непрерывно дифференцируема), я не могу использовать первую часть теорема в моем доказательстве (по крайней мере, не без использования более тяжелой техники). Однако мы все еще знаем, что F (x + Δ x) - F (x) ≈ f (x) Δ x F (x + Δ x) - F (x) ≈ f (x) Δ x F (x + \ Delta x) - F (x) \ приблизительно f (x) \ Delta x, следовательно, если мы выберем Δ x = (b - a) / N x = (b - a) / N \ Delta x = (b - a) / N для некоторого целого числа N ≥ 1 N ≥ 1 N \ geq 1,

F (b) - F (a) = ≈ = ≈ F (b) - F (b - Δ x) + F (b - Δ x) - F (b - 2 Δ x) + F (b - 2 Δ x ) -… - F (a + x) + F (a + x) - F (a) f (b - x) x + f (b - 2 x) x +… + f (a ) X x i = 0 N - 1 f (a + xi) x x baf (x) dx. F (b) - F (a) = F (b) - F (b - x) + F (b - x) - F (b - 2 x) + F (b - 2 x) -… - F (a + Δ x) + F (a + Δ x) - F (a) ≈ f (b - Δ x) Δ x + f (b - 2 Δ x) Δ x +… + f (a) Δ x = ∑ i = 0 N - 1 f (a + Δ xi) Δ x ≈ ∫ abf (x) dx. \ begin {align *} F (b) - F (a) = & F (b) - F (b - \ Delta x) \\ & + F (b - \ Delta x) - F (b - 2 \ Delta x ) \\ & + F (b - 2 \ Delta x) - \ ldots - F (a + \ Delta x) \\ & + F (a + \ Delta x) - F (a) \\ \ ок & f (b - \ Delta x) \ Delta x + f (b - 2 \ Delta x) \ Delta x + \ ldots + f (a) \ Delta x \\ = & \ sum_ {i = 0} ^ {N - 1} f (a + \ Delta xi) \ Delta x \\ \ ок & \ int_a ^ bf (x) \ \ text {d} x. \ end {align *} \ tag * {}

Теперь достаточно превратить это удобное волнистое доказательство в правильное. Во-первых, утверждение, что F (x + Δ x) - F (x) ≈ f (x) Δ x F (x + Δ x) - F (x) ≈ f (x) Δ x F (x + \ Delta x ) - F (x) \ ок. F (x) \ Delta x следует переформулировать так, чтобы сказать, что для любого ϵ> 0 ϵ> 0 \ epsilon> 0 существует δ> 0 δ> 0 \ delta> 0 такое, что если | Δx | <δ | Δx | <δ | \ Дельта х | <\ delta, тогда | F (x + Δ x) - F (x) - f (x) Δ x | <ϵ Δ x | F (x + Δ x) - F (x) - f (x) Δ x | <ϵ Δ x | F (x + \ Delta x) - F (x) - f (x) \ Delta x | <\ epsilon \ Delta x. Априори δ> 0 δ> 0 \ delta> 0 зависит от того, что мы выберем для x x x. К счастью, мы только когда-либо смотрим на конечное разбиение конечного интервала [a, b] [a, b] [a, b], и поэтому мы можем найти δ δ \ delta, которые работают для x = a, a + Δ x, a + 2 Δ x… x = a, a + Δ x, a + 2 Δ x… x = a, a + \ Delta x, a + 2 \ Delta x \ ldots, а затем просто взять наименьшее один, чтобы получить δ δ \ delta, который гарантированно работает для всех них.

При этом мы показали, что мы всегда можем взять NNN достаточно большим, так что если x = (b - a) / N x = (b - a) / N \ Delta x = (b - a) / N , тогда

F (b) - F (a) = = F (b) - F (b - x) + F (b - x) - F (b - 2 x) + F (b - 2 x) - … - F (a + Δ x) + F (a + Δ x) - F (a) f (b - Δ x) Δ x + EN - 1 + f (b - 2 Δ x) Δ x + EN - 2 +… + F (a) Δ x + E 0, F (b) - F (a) = F (b) - F (b - Δ x) + F (b - Δ x) - F (b - 2 Δ х) + F (b - 2 Δ x) -… - F (a + Δ x) + F (a + Δ x) - F (a) = f (b - Δ x) Δ x + EN - 1 + f (b - 2 Δ x) Δ x + EN - 2 +… + f (a) Δ x + E 0, \ begin {align *} F (b) - F (a) = & F (b) - F (b - \ Delta x) \\ & + F (b - \ Delta x) - F (b - 2 \ Delta x) \\ & + F (b - 2 \ Delta x) - \ ldots - F (a + \ Delta x) \\ & + F (a + \ Delta x) - F (a) \\ = & f (b - \ Delta x) \ Delta x + E_ {N - 1} + f (b - 2 \ Delta x) \ Delta x + E_ {N - 2} \\ & + \ ldots + f (a) \ Delta x + E_0, \ end {align *} \ tag * {}

где E i = F (a + (i + 1) Δ x) - F (a + i Δ x) - f (a + i Δ x) Δ x E i = F (a + (i + 1) Δ x ) - F (a + i Δ x) - f (a + i Δ x) Δ x E_i = F (a + (i + 1) \ Delta x) - F (a + i \ Delta x) - f (a + i \ Delta x) \ Delta x, и по вышеизложенному мы знаем, что | Е я | <ϵ Δ x | Е я | <ϵ Δ x | E_i | <\ epsilon \ Delta x. Вследствие этого,

F (b) - F (a) = i = 0 N - 1 f (a + xi) x + E i = E + i = 0 N - 1 f (a x x) x, F (b) - F (a) = i = 0 N - 1 f (a + xi) x + E i = E + i = 0 N - 1 f (a x x) x, \ begin {выровнять *} F (b) - F (a) & = \ sum_ {i = 0} ^ {N - 1} f (a + \ Delta xi) \ Delta x + E_i \\ & = E + \ sum_ { i = 0} ^ {N - 1} f (a + \ Delta xi) \ Delta x, \ end {align *} \ tag * {}

где

E = ∑ i = 0 N - 1 E i E = ∑ i = 0 N - 1 E i \ displaystyle E = \ sum_ {i = 0} ^ {N - 1} E_i \ tag * {}

и конечно | E |

F (b) - F (a) = lim N → ∞ ∑ i = 0 N - 1 f (a + xi) x = = baf (x) dx, F (b) - F (a) = lim N → ∞ ∑ i = 0 N - 1 f (a + Δxi) Δ x = ∫ abf (x) dx, \ begin {align *} F (b) - F (a) & = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ {N - 1} f (a + \ Delta xi) \ Delta x \\ & = \ int_a ^ bf (x) \ \ text {d} x, \ end {align * } \тег*{}

так как ошибка исчезнет в пределе.

ответил(а) 2019-12-23T16:53:24+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
71

ответил(а) 2019-12-23T16:53:24+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
54

Это не «обратный» или даже «обратный» в каком-либо алгебраическом смысле, это просто взаимосвязь, существующая между антипроизводным и производным, между склонами и площадями. Для вещественной функции производная - это наклон касательной к любой функции в точке, где она непрерывна, и поэтому ее можно рассматривать как предел разностного уравнения при приближении к этой точке. Интеграл является пределом суммы Римана на отрезке, где вещественная функция непрерывна. Этот предел интерпретируется как область для функций одной переменной. Связующая нить называется Фундаментальная теорема исчисления и доказана в каждом учебнике по исчислению, а в этой статье Википедии - Фундаментальная теорема исчисления - Википедия.

Так, например, 2x - это наклон касательной линии x ^ 2 для всех действительных чисел x. Это также означает, что сумма наклонов, взятых непрерывно от, скажем, x = a до x = b, на самом деле равна b ^ 2-a ^ 2, это площадь под кривой y = 2x. Следует отметить, что когда мы интегрируем y = 2x, мы имеем бесконечный класс функций, которые могут иметь наклон 2x для x, но все они суммируются как y = x ^ 2 + C, общая антидеривативная функция. Когда мы пойдем оценивать определенный интеграл, постоянная всегда исчезает.

Важным моментом является то, что у нас есть бесконечный класс антипроизводных, которые все связаны очень знакомым понятием смещения чего-либо вверх или вниз. В более изящном языке это означает, что наклон функции при значении x инвариантен при вертикальных сдвигах. Это действительно не глубже, чем это.

Обобщенное дифференцирование и интеграция за пределы функций с реальной величиной одной переменной добавляет еще несколько уникальных свойств в зависимости от контекста, но основная идея остается в силе. Например, этот мощный фундаментный камень ведет прямо к областям дифференциальных уравнений и теории мер.

ответил(а) 2019-12-23T16:53:24+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
37

Вот как я этому учу.

Во-первых, вам понадобится теорема сжатия или сэндвича:

Тогда вы можете «поймать» интеграл между двумя пределами:

ответил(а) 2019-12-23T16:53:24+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема