Как вы доказываете, что между двумя действительными числами существует бесконечно много рациональных чисел?

423
29
1
Лучший ответ
453

Это, вероятно, будет более педантичным, чем вы хотели - но это моя работа.

Во-первых, учитывая любые два действительных числа, я найду ОДИН рациональный между ними:

Предположим, у меня есть два действительных числа α α \ alpha и β β \ beta, причем α <β α <β \ alpha <\ beta.

Поскольку β - α β - α \ beta - \ alpha - положительное число, его обратное 1 β - α 1 β - α \ frac {1} {\ beta - \ alpha} также положительно - но, конечно, оно конечно, поэтому существует некоторое положительное целое число NNN, которое больше 1 β - α 1 β - α \ frac {1} {\ beta - \ alpha}.

Это означает, что N ⋅ β - N ⋅ α> 1 N ⋅ β - N ⋅ α> 1 N \ cdot \ beta - N \ cdot \ alpha> 1. Но всегда есть хотя бы одно целое число между любыми двумя действительными числами, расстояние между которыми больше 1 1 1 (это ясно? Возьмите самое большое целое число строго меньше, чем большее (в этом случае N ⋅ β N ⋅ β N \ cdot \ beta), например, он не может быть более чем на 1 1 1 меньше, чем больший, и поэтому он должен находиться в интервале).

Таким образом, существует целое число MMM, такое что N N α

Хорошо, что нашел ОДИН рациональный между двумя действительными числами. Но теперь я могу найти другое рациональное число между этим рациональным и любым из двух начальных чисел, используя ту же технику. И как только я найду набор конечного числа рациональных чисел между начальными числами, если я возьму любые два из них, для которых нет других в наборе между ними, я могу использовать вышеупомянутую технику, чтобы найти еще одно рациональное число в между начальными номерами. Продолжить до бесконечности ...

ответил(а) 2019-12-23T16:43:08+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
210

Я думаю, что десятичное разложение вещественных чисел, на этот раз, очень хорошо работает, чтобы ответить на этот вопрос.

Запишите десятичное расширение обоих ваших действительных чисел. Скажи, что ты получаешь

r 1 = м. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4… r 1 = m. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4… r_1 = m.a_0a_1a_2a_3a_4 \ ldots

r 2 = n. b 0 b 1 b 2 b 3 b 4… r 2 = n. b 0 b 1 b 2 b 3 b 4… r_2 = n.b_0b_1b_2b_3b_4 \ ldots

где m m m и n n n - целые числа, а a k a k a_k 's и b k b k b_k' s - цифры. Также сделайте то же самое для r r r, разность r 1 r 1 r_1 и r 2 r 2 r_2:

r = r 2 - r 1 = p. c 0 c 1 c 2 c 3 c 4… r = r 2 - r 1 = p. c 0 c 1 c 2 c 3 c 4… r = r_2-r_1 = p.c_0c_1c_2c_3c_4 \ ldots

Пусть j j j будет положением первой ненулевой цифры r r r. Тогда ваши бесконечно много рациональных чисел, которые находятся между r 1 r 1 r_1 и r 2 r 2 r_2

м a 0 a 1… a j - 1 (a j + 1) m. a 0 a 1… a j - 1 (a j + 1) m.a_0a_1 \ ldots a_ {j-1} (a_j + 1)

м a 0 a 1… a j - 1 a j (a j + 1 + 1) m. a 0 a 1… a j - 1 a j (a j + 1 + 1) m.a_0a_1 \ ldots a_ {j-1} a_j (a_ {j + 1} +1)

м a 0 a 1… a j - 1 a j a j + 1 (a j + 2 + 1) m. a 0 a 1… a j - 1 a j a j + 1 (a j + 2 + 1) m.a_0a_1 \ ldots a_ {j-1} a_ja_ {j + 1} (a_ {j + 2} +1)

м a 0 a 1… a j - 1 a j a j + 1 a j + 2 (a j + 3 + 1) m. a 0 a 1… aj - 1 ajaj + 1 aj + 2 (aj + 3 + 1) m.a_0a_1 \ ldots a_ {j-1} a_ja_ {j + 1} a_ {j + 2} (a_ {j + 3) } +1)

V ⋮ \ vdots

(Если a j + ℓ a j + ℓ a_ {j + \ ell} является цифрой 9 9 9 для некоторого ℓ ℓ \ ell, то отрегулируйте соответствующим образом.)

Поскольку все эти десятичные числа конечны, все они представляют рациональные числа. Более того, ясно, что все они должны быть между r 1 r 1 r_1 и r 2 r 2 r_2. Мы сделали, тогда.

Например, предположим, что r 1 = 1,23499852… r 1 = 1,23499852… r_1 = 1,23499852 \ ldots и r 2 = 1,235 r 2 = 1,235 r_2 = 1,235. Тогда r = 0,00000148… r = 0,00000148… r = 0,00000148 точек, поэтому j = 6 j = 6 j = 6. Таким образом, десятичные дроби

1.234999 1.234999 1.234999

1.2349986 1.2349986 1.2349986

1.23499853 1.23499853 1.23499853

бесконечно много рациональных чисел между r 1 r 1 r_1 и r 2 r 2 r_2.

ответил(а) 2019-12-23T16:43:08+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
105
62

Выберите реальный х х х. Сначала мы покажем, что мы можем найти рациональные числа настолько близкие к x x x, сколько захотим.

Если x x x рационально, мы можем взять рациональное x + 1 n x + 1 n x + \ frac {1} {n} для любого целого числа n n n, и все готово. В противном случае, x x x должен находиться между двумя последовательными целыми числами. Это потому, что натуральные числа упорядочены, поэтому, если xxx положительно, должно быть наименьшее натуральное число k> xk> xk> x, а затем k - 1 x> - k - k + 1> x> - k -k + 1> x> -k.

Теперь разделите интервал [k, k + 1] [k, k + 1] [k, k + 1] пополам. Так как x x x иррационально, он не упадет на полпути, поэтому он попадет в подинтервал длины 1/2 1/2 1/2 с рациональными конечными точками. Мы можем повторить этот процесс, чтобы найти интервал с рациональными конечными точками, содержащими x x x длины 1 2 n 1 2 n \ frac {1} {2 ^ n} для любого n n n. Таким образом, конечные точки этих интервалов являются рациональными числами, которые могут быть найдены так близко к x x x, как нам нравится.

Теперь выберите два действительных числа x

ответил(а) 2019-12-23T16:43:08+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
51

Пусть a

а <м н <б. а <м н <б. \ HSPACE {13ex} а <\ dfrac {т} {п} <Ь \ ,.

Теперь выберите другое положительное целое число p такое, что

1 р <б - м н. 1 р <б - м н. \ HSPACE {13ex} \ dfrac1p

затем

a

для всех натуральных чисел q.

ответил(а) 2019-12-23T16:43:08+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
52

Вы можете написать любое действительное число как бесконечные десятичные числа. Есть точка, где они отличаются. Теперь, если мы урежем большее, мы получим рациональное число. Это между числами. Теперь мы можем выбрать другую десятичную форму, большую, и это другое рациональное число. Мы можем делать это бесконечно много раз.

Например, рациональные числа, которые меньше чем пи:

3.14

3.141

3.1415

3.14159

и т.п.

Это предполагает, что оба числа положительные, обработка отрицательных чисел тривиальна. Это также предполагает, что большее число не является рациональным числом, у которого заканчивается десятичная запись.

ответил(а) 2019-12-23T16:43:08+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
36

Ссылаться на:

Ответ Кевина Шеноя на Как вы докажете, что между любыми двумя действительными числами существует хотя бы одно рациональное число?

ответил(а) 2019-12-23T16:43:08+03:00 11 месяцев, 1 неделя назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема