Как мне решить ∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 - - - - - √ + 8 x 3 x 2 - 1 - - - - - √ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 dx ∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 + 8 x 3 x 2 - 1 4 dx \ displaystyle {\ int {\ sqrt [4] {1-8 {{x} ^ {2}} + 8 {{x} ^ {4}} - 4x \ sqrt {{{x} ^ {2} } -1} +8 {{x} ^ {3}} \ sqrt {{{x} ^ {2}} - 1}} dx}}?

214
23
1
Лучший ответ
228

1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 - - - - - √ + 8 x 3 x 2 - 1 - - - - - √ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 + 8 x 3 x 2 - 1 4 \ sqrt [4] { 1-8x ^ 2 + 8х ^ 4-4x \ SQRT {х ^ 2-1} + 8х ^ 3 \ SQRT {х ^ 2-1}}
= (4 x 4 - 4 x 2 + 1) + 8 x 3 x 2 - 1 - - - - - √ - 4 xx 2 - 1 - - - - - √ + (4 x 4 - 4 x 2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 = (4 x 4 - 4 x 2 + 1) + 8 x 3 x 2 - 1 - 4 xx 2 - 1 + (4 x 4 - 4 x 2) 4 = \ sqrt [4] {(4x ^ 4-4x ^ 2 + 1) + 8х ^ 3 \ SQRT {х ^ 2-1} -4x \ SQRT {х ^ 2-1} + (4x ^ 4-4x ^ 2)}
= (2 x 2 - 1) 2 + 4 xx 2 - 1 - - - - - √ (2 x 2 - 1) + 4 x 2 (x 2 - 1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 = (2 x 2 - 1) 2 + 4 xx 2 - 1 (2 x 2 - 1) + 4 x 2 (x 2 - 1) 4 = \ sqrt [4] {(2x ^ 2-1) ^ 2 + 4x \ sqrt {x ^ 2-1} (2x ^ 2-1) + 4x ^ 2 (x ^ 2-1)}
= (2 x 2 - 1) 2 + 2 ⋅ (2 x 2 - 1) ⋅ 2 xx 2 - 1 - - - - - √ + (2 xx 2 - 1 - - - - - √) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 = (2 x 2 - 1) 2 + 2 ⋅ (2 x 2 - 1) ⋅ 2 xx 2 - 1 + (2 xx 2 - 1) 2 4 = \ sqrt [4] {(2x ^ 2-1) ^ 2 + 2 \ cdot (2x ^ 2- 1) \ cdot2x \ sqrt {x ^ 2-1} + (2x \ sqrt {x ^ 2-1}) ^ 2}
= ((2 x 2 - 1) + 2 xx 2 - 1 - - - - - √) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 = ((2 x 2 - 1) + 2 xx 2 - 1) 2 4 = \ sqrt [4] {((2x ^ 2-1) + 2x \ sqrt {x ^ 2-1}) ^ 2}
= (x 2 + 2 x x x 2 - 1 - - - - - √ + (x 2 - 1)) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 = (x 2 + 2 x x x 2 - 1 + (x 2 - 1)) 2 4 = \ sqrt [4] {(x ^ 2 + 2 \ cdot x \ cdot \ sqrt { х ^ 2-1} + (х ^ 2-1)) ^ 2}
= ((x + x 2 - 1 - - - - - √) 2) 2 - - - - - - - - - - - - - √ 4 = ((x + x 2 - 1) 2) 2 4 = \ SQRT [4] {((х + \ SQRT {х ^ 2-1}) ^ 2) ^ 2}
= (x + x 2 - 1 - - - - - √) 4 - - - - - - - - - - - √ 4 = (x + x 2 - 1) 4 4 = \ sqrt [4] {(x + \ SQRT {х ^ 2-1}) ^ 4}
= | х + х 2 - 1 - - - - - √ | = | х + х 2 - 1 | = | \, x + \ sqrt {x ^ 2-1} \, |

Для x ≥ 1 x ≥ 1 \ boldsymbol {x \ ge 1}

∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 - - - - - √ + 8 x 3 x 2 - 1 - - - - - √ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 dx ∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 + 8 x 3 x 2 - 1 4 dx \ displaystyle \ int \ sqrt [4] {1-8x ^ 2 + 8x ^ 4-4x \ sqrt {x ^ 2-1} + 8x ^ 3 \ sqrt {x ^ 2-1}} \; dx
= ∫ (x + x 2 - 1 - - - - - √) d x = ∫ (x + x 2 - 1) d x = \ displaystyle \ int (x + \ sqrt {x ^ 2-1})) \; дх
= 1 2 (x 2 + xx 2 - 1 - - - - - √ - ln (x + x 2 - 1 - - - - - √)) = 1 2 (x 2 + xx 2 - 1 - ln ⁡ (x + x 2 - 1)) = \ frac {1} {2} \ left (x ^ 2 + x \ sqrt {x ^ 2-1} - \ ln \ left (x + \ sqrt {x ^ 2-1} \) верно-верно)

Для x ≤ 1 x ≤ 1 \ boldsymbol {x \ le 1}

∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 - - - - - √ + 8 x 3 x 2 - 1 - - - - - √ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 dx ∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 + 8 x 3 x 2 - 1 4 dx \ displaystyle \ int \ sqrt [4] {1-8x ^ 2 + 8x ^ 4-4x \ sqrt {x ^ 2-1} + 8x ^ 3 \ sqrt {x ^ 2-1}} \; dx
= ∫ - (x + x 2 - 1 - - - - - √) dx = ∫ - (x + x 2 - 1) dx = \ displaystyle \ int - (x + \ sqrt {x ^ 2-1})) \ ; дх
= - 1 2 (x 2 + xx 2 - 1 - - - - - √ - ln ∣ ∣ x + x 2 - 1 - - - - - √ ∣ ∣) = - 1 2 (x 2 + xx 2 - 1 - ln ⁡ | x + x 2 - 1 |) = - \ frac {1} {2} \ left (x ^ 2 + x \ sqrt {x ^ 2-1} - \ ln \ left | x + \ sqrt {x ^ 2-1} \ право | \ справа)

Объединяя оба результата выше, мы получаем:

∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 - - - - - √ + 8 x 3 x 2 - 1 - - - - - √ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ 4 dx ∫ 1 - 8 x 2 + 8 x 4 - 4 xx 2 - 1 + 8 x 3 x 2 - 1 4 dx \ displaystyle \ int \ sqrt [4] {1-8x ^ 2 + 8x ^ 4-4x \ sqrt {x ^ 2-1} + 8x ^ 3 \ sqrt {x ^ 2-1}} \; dx

= | х | 2 (x + x 2 - 1 - - - - - - √ - 1 x ln ∣ ∣ x + x 2 - 1 - - - - - - √ ∣ ∣) = | х | 2 (x + x 2 - 1 - 1 x ln ⁡ | x + x 2 - 1 |) = \ boxed {\ boldsymbol {\ frac {| x |} {2} \ left (x + \ sqrt {x ^ 2 -1} - \ frac {1} {x} \, \ ln \ left | x + \ sqrt {x ^ 2-1} \ right | \ right)}}

ответил(а) 2019-12-25T18:57:29+03:00 1 год, 9 месяцев назад
103

Термин x 2 - 1 - - - - - √ x 2 - 1 \ sqrt {x ^ 2-1} предлагает использовать изменение переменной

x = cosh z x = cosh ⁡ z x = \ cosh z

Которые преобразуют интеграл в

Z sin h sin h ∫ ∫ z z z int int int int int int int sin sin sin sin sin sin

Это простой интеграл, который вы можете выполнить сами.

Другой метод заключается в том, чтобы отметить, что термин внутри корня равен

(x + x 2 - 1 - - - - - √) 4 (x + x 2 - 1) 4 \ left (x + \ sqrt {x ^ 2-1} \ right) ^ 4

И, следовательно, интеграл

∫ (x + x 2 - 1 - - - - - √) d x ∫ (x + x 2 - 1) d x \ int \ left (x + \ sqrt {x ^ 2-1} \ right) dx

Что гораздо проще

ответил(а) 2019-12-25T18:57:29+03:00 1 год, 9 месяцев назад
73

Тривиально по теореме Вольфрамальфа.

ответил(а) 2019-12-25T18:57:29+03:00 1 год, 9 месяцев назад
43

сначала мы должны сделать своими руками, тогда ответ ……

16384937 потому что ...

х2 = х + х + ⋯ + х⏟ (х раз)

ddxx2 = ddx [x + x + ⋯ + x⏟ (x раз)]

2x = 1 + 1 + ⋯ + 1 = х

2 = 1 Теория может быть заключена в основное уравнение, называемое стандартной моделью Лагранжа (названной в честь французского математика и астронома 18-го века Жозефа Луи Лагранжа), которое было выбрано физиком-теоретиком Лэнсом Диксоном из Национальной лаборатории ускорителей SLAC в Калифорнии как его любимая формула ....

Спасибо..

как если бы его бесполезно

ответил(а) 2019-12-25T18:57:29+03:00 1 год, 9 месяцев назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема