Как мы можем найти уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей?

65
9
1
Лучший ответ
57

Способ I: -

Star ⋆ \ star Чтобы найти уравнение прямой, нам нужны две вещи:

Вектор, параллельный линии Точка на линии

Чтобы найти вектор, параллельный прямой, просто возьмите перекрестное произведение нормалей на плоскости:

x - 2 y - z + 5 = 0 ⟹ N ormal: 1 ^ ^ - 2 ȷ ^ - 1 k ^ x - 2 y - z + 5 = 0 ⟹ N ormal: 1 ^ ^ - 2 ȷ ^ - 1 k ^ x-2y-z + 5 = 0 \ подразумевает нормальное значение: 1 \ hat \ imath -2 \ hat \ jmath -1 \ hat k

x + y + 3 z = 6 ⟹ N ormal: 1 ı ^ + 1 ȷ ^ + 3 k ^ x + y + 3 z = 6 ⟹ N ormal: 1 ı ^ + 1 ȷ ^ + 3 k ^ x + y + 3z = 6 \ подразумевает нормальное значение: 1 \ hat \ imath +1 \ hat \ jmath +3 \ hat k

(1 ^ ^ - 2 ȷ ^ - 1 k ^) × (1 ^ ^ + 1 ȷ ^ + 3 ^ ^) = - 5 ^ ^ - 4 ȷ ^ + 3 k ^ (1 ^ - 2 ȷ ^ - 1 k ^) × (1 ı ^ + 1 ȷ ^ + 3 k ^) = - 5 ^ ^ - 4 ȷ ^ + 3 k ^ (1 \ hat \ imath -2 \ hat \ jmath -1 \ hat k) \ times (1 \ hat \ imath +1 \ hat \ jmath +3 \ hat k) = -5 \ hat \ imath -4 \ hat \ jmath +3 \ hat k

Теперь, чтобы найти точку, примем точку как (a, b, 0) (a, b, 0) (a, b, 0): -

Поскольку точка также лежит на обеих плоскостях, они удовлетворяют уравнению обеих линий:

x - 2 y - z + 5 = 0 ⟹ a - 2 b = - 5 x - 2 y - z + 5 = 0 ⟹ a - 2 b = - 5 x-2y-z + 5 = 0 \ подразумевает a-2b = -5

x + y + 3 z = 6 a + b = 6 x + y + 3 z = 6 a + b = 6 x + y + 3z = 6 \ подразумевает a + b = 6

Решая эти два, мы получаем:

a = 7 3, b = 11 3 a = 7 3, b = 11 3 a = \ dfrac {7} {3}, \, \, b = \ dfrac {11} {3}

Итак, уравнение прямой в декартовой форме будет иметь вид:

x - 7 3 - 5 = y - 11 3 - 4 = z 3 x - 7 3 - 5 = y - 11 3 - 4 = z 3 \ boxed {\ dfrac {x- \ dfrac {7} {3}} { -5} = \ dfrac {y- \ dfrac {11} {3}} {- 4} = \ dfrac {z} {3}}

Метод II:

Как я уже говорил ранее, вы также можете просто параметризовать уравнение:

Возьмем z = t z = t z = t, получим:

x - 2 y = t - 5 x - 2 y = t - 5 x-2y = t-5

х + у = - 3 т + 6 х + у = - 3 т + 6 х + у = -3т +6

Решая мы получаем: -

(x, y, z) = (7 - 5 т 3, 11 - 4 т 3, т) (x, y, z) = (7 - 5 т 3, 11 - 4 т 3, т) \ boxed {( x, y, z) = \ left (\ dfrac {7–5t} {3}, \ dfrac {11–4t} {3}, t \ right)}

Star ⋆ \ star Каждая точка для некоторого ttt будет удовлетворять уравнению прямой, записывая в векторной форме [r ⃗ = a ⃗ + mb ⃗] [r → = a → + mb →] [\ vec r = \ vec a + m \ vec b]: -

г ^ = (7 - 5 т 3) № ^ + (11 - 4 т 3) ȷ ^ + 3 тк ^ г ^ = (7 - 5 т 3) № ^ + (11 - 4 т 3) ȷ ^ + 3 tk ^ \ hat r = \ left (\ dfrac {7–5t} {3} \ right) \ hat \ imath + \ left (\ dfrac {11–4t} {3} \ right) \ hat \ jmath + 3t \ шляпа к

Переставляя получим: -

r ^ = 7 3 ı ^ + 11 3 ȷ ^ + 0 k ^ - t 3 (5 ^ ^ + 4 ȷ ^ - 3 k ^) r ^ = 7 3 ^ + 11 3 ȷ ^ + 0 k ^ - t 3 (5 ^ ^ + 4 ȷ ^ - 3 k ^) \ в штучной упаковке {\ hat r = \ dfrac {7} {3} \ hat \ imath + \ dfrac {11} {3} \ hat \ jmath +0 \ hat k - \ dfrac {t} {3} \ left (5 \ hat \ imath + 4 \ hat \ jmath -3 \ hat k \ right)}

ответил(а) 2020-06-07T17:28:01+03:00 3 месяца, 2 недели назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема