Как математики определили или создали гамма-функцию?

102
12
1
Лучший ответ
111

Два основных свойства, для которых мы называем функцию «Гамма-функция»:

Теперь, как мы получаем интегральное определение гамма-функции. Для нахождения такого рода свойств математики исследовали различные подходы.

Одним из наиболее распространенных подходов является использование элементарной функции f (x) = e ^ (- x). Теперь интегрируя от 0 до бесконечности, мы получаем,

0 ∞ 0 e - axdx = 1 a ∫ 0 ∞ e - axdx = 1 a \ begin {align} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} \, \ mathrm dx & = \ dfrac1a \ end {align} \ tag * {}

Итак, дифференцируя под знаком интегрирования по отношению к

∞ ∞ 0 e - axdx ∫ ∞ 0 xe - axdx ∫ ∞ 0 x 2 e - axdx = 1 a = 1 a 2 = 2 a 3 ∫ 0 ∞ e - axdx = 1 a ∫ 0 ∞ xe - axdx = 1 a 2 ∫ 0 ∞ x 2 e - axdx = 2 a 3 \ begin {align} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} \, \ mathrm dx & = \ dfrac1a \\\ int_0 ^ \ infty xe ^ {- ax} \ , \ mathrm dx & = \ dfrac1 {a ^ 2} \\\ int_0 ^ \ infty x ^ 2e ^ {- ax} \, \ mathrm dx & = \ dfrac2 {a ^ 3} \ end {align} \ tag * {}

Продолжение этой последовательности дает…

∞ ∞ 0 x n e - a x d x = n! a n + 1 ∫ 0 ∞ x n e - a x d x = n! + 1 \ begin {align} \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- ax} \, \ mathrm dx & = \ dfrac {n!} {a ^ {n + 1}} \ end {align} \ tag * {}

Положив а = 1 а = 1 а = 1 мы имеем

∞ ∞ 0 x n e - x d x = n! ∫ 0 ∞ x n e - x d x = n! \ begin {align} \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- x} \, \ mathrm dx & = n! \ end {align} \ tag * {}

Другое имущество,

Мы знаем,

Позволять,

Итак, Γ (x) = (x - 1) * Γ (x - 1)

Поэтому интегральное определение гамма-функции,

ответил(а) 2020-06-07T20:42:44+03:00 3 месяца, 3 недели назад
42

Для вопросов, подобных этому, всегда попробуйте Википедию.

В этом случае мы находим гамма-функцию - Википедия.

Раздел «История» этой ссылки отвечает на ваш вопрос.

ответил(а) 2020-06-07T20:42:44+03:00 3 месяца, 3 недели назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема