Как этот сумасшедший интеграл 1 0 1 xxxxx - - √ 5 ⋅ ⋯ - - - - - - - √ 4 - - - - - - - - - √ 3 - - - - - - - - - - - - - √ 2 dx ∫ 0 1 xxxxx 5 ⋯ ⋅ 4 3 2 dx \ displaystyle \ int \ limit_ {0} ^ {1} \! x \ sqrt [2] {x \ sqrt [3] {x \ sqrt [4] {x \ sqrt [5] {x} \ cdot \ cdots}}} \, \ mathrm {d} x оценивается?

74
8
1
Лучший ответ
184

∫ 1 0 xxxxx… - - - - √ 5 - - - - - - √ 4 - - - - - - - - - √ 3 - - - - - - - - - - - √ dx ∫ 0 1 xxxxx… 5 4 3 dx \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {x \ sqrt {x \ sqrt [3] {x \ sqrt [4] {x \ sqrt [5] {x…}}}}} dx

∫ 1 0 x 1 (x 1 2) (x 1 2 (1 3)) (x 1 2 (1 3) (1 4)) (x 1 2 (1 3) (1 4) (1 5))… dx ∫ 0 1 x 1 (x 1 2) (x 1 2 (1 3)) (x 1 2 (1 3) (1 4)) (x 1 2 (1 3) (1 4) (1 5)) … Dx \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {x ^ {1} (x ^ {\ frac {1} {2}}) (x ^ {\ frac {1} {2} (\ frac {1) } {3})}) (х ^ {\ гидроразрыва {1} {2} (\ гидроразрыва {1} {3}) (\ гидроразрыва {1} {4})}) (х ^ {\ гидроразрыва {1} {2} (\ гидроразрыва {1} {3}) (\ гидроразрыва {1} {4}) (\ гидроразрыва {1} {5})}) ...} дх

∫ 1 0 x 1 1! (x 1 2!) (x 1 3!) (x 1 4!) (x 1 5!)… d x ∫ 0 1 x 1 1! (x 1 2!) (x 1 3!) (x 1 4!) (x 1 5!)… dx \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {x ^ {\ frac {1} {1!} } (х ^ {\ гидроразрыва {1} {2!}}) (х ^ {\ гидроразрыва {1} {3!}}) (х ^ {\ гидроразрыва {1} {4!}}) (х ^ { \ гидроразрыва {1} {5!}}) ...} дх

∫ 1 0 x 1 1! +1 1! +1 1! +1 1! +1 1! … D x ∫ 0 1 x 1 1! +1 1! +1 1! +1 1! +1 1! … Dx \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {x ^ {\ frac {1} {1!} + \ Frac {1} {2!} + \ Frac {1} {3!} + \ Frac { 1} {4!} + \ гидроразрыва {1} {5!} ...}} дх

e = ∑ n = 0 ∞ 1 k! e = ∑ n = 0 ∞ 1 k! \ displaystyle e = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}}

0 1 0 x e - 1 d x ∫ 0 1 x e - 1 d x \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {x ^ {e-1}} dx

x e e ∣ ∣ 1 0 x e e | 0 1 \ displaystyle \ frac {x ^ {e}} {e} \ Big | _ {0} ^ {1}

1 e 1 e \ displaystyle \ frac {1} {e}

ответил(а) 2019-11-26T17:11:04+03:00 1 год назад
175

Вы должны признать, что все эти корни могут быть переписаны как

ответил(а) 2019-11-26T17:11:04+03:00 1 год назад
152

Спасибо !

ответил(а) 2019-11-26T17:11:04+03:00 1 год назад
74

Подынтегральное выражение равно x ^ (1 + 1/2 + 1 / (2 * 3) + и т. Д.) = X ^ (сумма (1 / n!)) = X ^ e, поэтому результат равен 1 / (e + 1) где е - постоянная Эйлера. Не уверен на 100%, что я прав, но я так думаю.

ответил(а) 2019-11-26T17:11:04+03:00 1 год назад
73

Давайте посмотрим на показатель степени по x. Следует помнить, что корень степени n равен степени с показателем 1 / n.

Показатель степени над x равен 1 + 1/2 + 1 / (2 * 3) + 1 / (2 * 3 * 4) +… =

1 + 1/2! +1/3! +1/4! +… = E-1 (мы использовали формулу e = 1 + 1/1! +1/2! +1/3! +…)

Неопределенный интеграл от x ^ (e-1) равен x ^ e / e + c

Нижний предел дает 0, верхний предел дает е ^ е / е = е ^ (е-1)

Результат е ^ (е-1).

ответил(а) 2019-11-26T17:11:04+03:00 1 год назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема