Как часто a n + b n a n + b n a ^ n + b ^ n - простое число (a, b, n a, b, n a, b, n - целые числа)?

199
31
1
Лучший ответ
197

Есть по крайней мере два способа интерпретации этого вопроса. Наиболее очевидным является количество положительных целых чисел a, b, n a, b, n a, b, n, равных n + b n a n + b n a ^ n + b ^ n, простых чисел. Глядя на случай n = 1 n = 1 n = 1, становится ясно, что таких случаев бесконечно много.

Следующая наиболее очевидная интерпретация заключается в следующем: если мы фиксируем nnn, для скольких положительных целых чисел a, ba, ba, b есть простое число + bnan + bna ^ n + b ^ na - в других нас интересует функция подсчета над nnn, который я обозначу через F (n) F (n) F (n).

Мы уже показали, что F (1) = ∞ F (1) = ∞ F (1) = \ infty. Нетрудно показать, что F (2) = ∞ F (2) = ∞ F (2) = \ infty - для этого вам нужно знать две вещи: во-первых, простое число p> 2 p> 2 p> 2 является суммой двух квадратов в том и только в том случае, если она имеет вид 4 k + 1 4 k + 1 4k + 1 для некоторого целого числа kkk, и вам нужно знать, что таких простых чисел бесконечно много. Первая - классическая теорема Ферма о суммах квадратов, и она может быть доказана довольно простыми средствами; Второе утверждение на самом деле даже проще, и его можно доказать, слегка адаптировав доказательство Евклида о том, что простых чисел бесконечно много.

А как насчет F (3) F (3) F (3)? Уже это сложнее, так как a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2) a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2). Это может быть простое число тогда и только тогда, когда a 2 - ab + b 2 = 1 a 2 - ab + b 2 = 1 a ^ 2 - ab + b ^ 2 = 1, и существует только конечное число целочисленных решений этого уравнения - фактически, поскольку a, b> 0 a, b> 0 a, b> 0, единственная возможность состоит в том, что a = b = 1 a = b = 1 a = b = 1. Следовательно, F (3) = 1 F (3) = 1 F (3) = 1. Я оставлю это в качестве упражнения, чтобы показать, что для любого целого числа n n n, делимого хотя бы на одно нечетное простое число, F (n) = 1 F (n) = 1 F (n) = 1.

Это оставляет вопрос определения F (2 k) F (2 k) F (2 ^ k) для k> 1 k> 1 k> 1. Это на удивление сложно. Экспериментальные данные и эвристика предполагают, что F (2 k) = ∞ F (2 k) = ∞ F (2 ^ k) = \ infty - это эквивалентно утверждению, что F (2 k) ≥ 2 F (2 k) ≥ 2 F (2 ^ k) \ geq 2 для всех k> 0 k> 0 k> 0, поскольку, конечно, если мы можем записать простое число ppp в виде 2 k + b 2 ka 2 k + b 2 ka ^ {2 ^ k} + b ^ {2 ^ k}, это также дает разложение p = (a 2) 2 k - 1 + (b 2) 2 k - 1 p = (a 2) 2 k - 1 + (b 2) 2 k - 1 p = \ left (a ^ 2 \ right) ^ {2 ^ {k - 1}} + \ left (b ^ 2 \ right) ^ {2 ^ {k - 1}}. Однако, насколько мне известно, это открытая проблема!

Действительно, только в 1998 году Фридлендер и Иванец (см. Https: //arxiv.org/pdf/math/98111 ...) доказали, что существует бесконечно много простых чисел вида a 2 + b 4 a 2 + b 4 a ^ 2 + b ^ 4 - это доказательство основывалось на довольно сложной теории сит.

Я предполагаю, что определение F (2 k) F (2 k) F (2 ^ k) для k> 1 k> 1 k> 1 вполне возможно с помощью современных инструментов, но я ожидаю, что это будет очень, очень сложно ,

ответил(а) 2020-06-07T19:43:18+03:00 1 месяц назад
31

Найти простые числа вида an + bna, b, n ∈ Z + an + bna, b, n ∈ Z + a ^ n + b ^ n \ a, b, n \ in \ mathbb {Z} ^ очень просто. {+} 2 2 + 3 2 = 13 2 2 + 3 2 = 13 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 13. 6 4 + 7 4 = 3697 6 4 + 7 4 = 3697 6 ^ 4 + 7 ^ 4 = 3697. 5 16 + 12 16 = 184884411482927041 5 16 + 12 16 = 184884411482927041 5 ^ {16} + 12 ^ {16} = 184884411482927041. 14 64 + 17 64 = 560702782121060589458633473598902205203742 4306348118191030689989499378320270337 14 64 + 17 64 = 560702782121060589458633473598902205203742 4306348118191030689989499378320270337 14 ^ {64} + 17 ^ {64} = 560702782121060589458633473598902205203742 \\ 4306348118191030689989499378320270337

и так далее.

Немного подумав о форме, которую должны принимать такие простые числа, говорит нам, что

n должно быть степенью 2 (по той же причине оно должно быть степенью 2 для обобщенных простых чисел Ферма вида an + 1 an + 1 a ^ n + 1) одно из a, b должно быть нечетным, а другое четным (степени четных чисел четные, степени нечетных чисел нечетные; четные + четные и нечетные + нечетные = четные)

ответил(а) 2020-06-07T19:43:18+03:00 1 месяц назад
36

Ну, для определенных значений n существует неограниченное количество случаев.

n = 1 сводится к a + b, который явно может представлять любое простое число. n = 0 тривиально уменьшает каждый положительный a & b до 2. ... для более высоких значений n вещи станут интересными. ... можно также исследовать отрицательные значения n.

ответил(а) 2020-06-07T19:43:18+03:00 1 месяц назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема