Что «получают» математики, чего обычно не имеют физики?

532
54
1
Лучший ответ
556

Есть много таких вещей, от некоторых, которые для математиков тривиальны, до более тонких, которые даже большинство математиков не понимают.

Вот основная простая вещь, которую получают все математики, но не все физики:

Требуется единственный контрпример, чтобы опровергнуть гипотезу.

Когда вы слышите, что определенная математическая гипотеза была опровергнута, это обычно означает, что был найден хотя бы один контрпример. Этого достаточно, чтобы быть одним. То есть случай, к которому предполагалось применить гипотезу, но это не так.

Для физиков иногда достаточно одного игрушечного примера, чтобы считать его общим доказательством.

Математики понимали это с древних времен. Говорят, что Пифагор считал, что все числа рациональны. Потребовался только пример, $ \ sqrt {2} $, чтобы сделать его очень разочарованным, некоторые говорят, что достаточно рассержены, чтобы убить парня, который доказал, что $ \ sqrt {2} $ иррациональна.

Физики также знали об этом, но в современной физике есть много случаев, когда физики доказывают очень простой пример, который даже не является реалистичным, игрушечным примером, и затем они утверждают, что результат справедлив для всех возможных ситуаций. Вот несколько примеров.

Сасскинд и его соавторы выдвинули предложение под названием «взаимодополняемость черных дыр», которое должно было спасти квантовую механику (которая, как казалось, подвергалось опасности потери информации в черной дыре), и в то же время сохранить принцип эквивалентности из общей теории относительности. Это предложение состояло в том, что, если Алиса упадет в черную дыру и в конечном итоге будет уничтожена, полная информация о ней будет храниться рядом с горизонтом событий и в конечном итоге исчезнет. Если Боб избежит падения, он сможет полностью получить информацию об Алисе. Теорема об отсутствии клонирования запрещает копирование квантовой информации, поэтому Сасскинд сказал, что это не имеет значения, потому что Алиса и Боб никогда не встречаются (или, точнее, нет наблюдателя, который мог бы видеть обе копии информации и, следовательно, быть свидетелем нарушения теорема об отсутствии клонирования). Контраргумент, выдвинутый ему, состоял в том, что Боб может прыгнуть вслед за Алисой, и тогда будут две копии информации, описывающей Алису, доступной одному и тому же наблюдателю. Сасскинд подсчитал, что к тому времени, когда Боб сможет встретиться с Алисой, прыгнув после того, как соберет информацию, Алиса будет уже уничтожена сингулярностью. Ну, этот аргумент работает только для черных дыр, которые не вращаются и не заряжены. Для тех, кто вращается или заряжается, Алиса может избежать сингулярности, пока не придет Боб. Но угадайте, что, никто не позаботился о том, чтобы решение Сасскинда работало только для такого редкого случая, который практически не существует, и не работает для большинства реалистичных случаев. Вы можете увидеть больше здесь [1807.05864] Пересмотр энтропии черной дыры и информационного парадокса. «Нет волос», «теорема». Широко признано, что это доказанная теорема, хотя на самом деле она доказана для простых случаев статических черных дыр. Тем не менее, считается, что все черные дыры излучают гравитационные волны, чтобы стать одним из них. По крайней мере, возможно, это следует назвать гипотезой или гипотезой. AdS / CFT переписка Maldacena. Пока это только предположение, даже в пространстве-времени AdS, но оно часто принимается за истину. Я имею в виду физическую истину, несмотря на то, что измерения космологической постоянной показывают, что наша вселенная не является AdS. Я не исключаю, что что-то подобное, своего рода калибровочно-гравитационная двойственность, будет найдено даже для положительной космологической постоянной, но до тех пор ... Тот факт, что электрослабые и сильные взаимодействия квантованы так, как они есть, не делает означает, что то же самое должно быть верно для гравитации. Конечно, должна существовать некоторая единая теория гравитации и квантовой теории, но мы пока не знаем, что гравитация, которая в общей теории относительности даже не является силой, должна быть того же типа, что и другие силы.

сверхобобщение

С другой стороны, иногда физики стремятся закрыть неисследованный путь с самого начала, основываясь на одном примере и экстраполяции, потому что они предпочитают другой или потому что они не могут физически исследовать все возможности, но хотят сделать правильное предположение. Подумайте, например, об особенностях в общей теории относительности. Адепты предложений по замене общей теории относительности, особенно сторонники некоторых попыток квантовой гравитации, любят говорить, что «предсказывая особенности, общая теория относительности предсказывает свое собственное разрушение и должно быть заменено чем-то другим». Квантовая теория поля также имеет особенности, но теория работает, несмотря на их, путем регуляризации и перенормировки. Тем не менее, они не хотят соглашаться с возможностью того, что особенности в общей теории относительности также могут быть каким-то образом упорядочены, даже если есть много доказательств того, что они могут быть еще лучше. Рассмотрение теорем сингулярности Пенроуза и Хокинга как доказательства того, что общая теория относительности ошибочна, хотя те, кто их доказал, не сказали этого. Однако мы можем легко справиться с особенностями в общей теории относительности, не изменяя теорию, и с помощью более простых и математически обоснованных средств. Посмотрите это для более простого введения. Бог разделил на ноль? Кристинел Стойка, и это для технических деталей [1301.2231] Единственная общая теория относительности.

Другой случай - в интерпретации квантовой механики. Честно говоря, большинство физиков понимают это, но время от времени вы можете услышать утверждение типа «Теорема Белла запрещает теории скрытых переменных». Ну, это не правда. Сам Белл до своей смерти был большим поклонником теории де Бройля-Бома. Белл сказал, что доказал, что локальные теории скрытых переменных не могут описать наш квантовый мир. Вот и все. Слово «местный» имеет все значение.

Тем не менее, он на самом деле не доказал это либо. Его теорема основана на двух предположениях: что взаимодействия являются локальными, и что объекты в разных позициях в пространстве начинают с наличия статистически независимых свойств. Из этого он вывел неравенство, которое в реальном мире нарушается. Следовательно, гипотеза неверна. Но что из этого является ложным: локальность, независимость или оба? Это его позиция, что местность. Но существуют локальные интерпретации, которые точно соответствуют наблюдениям и аналогичным образом нарушают неравенство Белла. Секрет в том, что они нарушают статистическую независимость. То есть система, которую вы наблюдаете, и аппарат, который вы используете, запускаются из начальных состояний, которые не являются независимыми. Кажется, что наблюдаемая система и аппарат должны были знать друг о друге задолго до того, как они взаимодействуют («заговор»). Или вы можете выразить это так, как если бы их прошлое состояние определялось ретрокаузально. Конечно, это может показаться нелепым, но это не означает, что такие теории математически невозможны, как вы могли бы ожидать от теоремы. И есть еще один способ увидеть это, который не требует заговора или ретро-причинности. Если вы думаете в пространстве-времени как четырехмерный блочный мир, как в общей теории относительности, и просите, чтобы поля были согласованными повсюду, они будут выглядеть как заговор или ретро-причинность для наблюдателя, который является узником пространства-времени - взгляд лягушачьего глаза, но не для того, кто имеет доступ ко всему пространству-времени вневременным способом - с высоты птичьего полета. Точнее, вы не принимаете все возможные начальные условия. Первое условие заключается в том, что решения являются глобально согласованными. Только из таких решений вы можете выбрать начальные условия, и они не будут независимыми, но они могут быть локальными. Теперь это один из способов увидеть это, и мы пока не знаем, правда ли это, но я хочу подчеркнуть, что это не исключается теоремой Белла, потому что одна из ее гипотез здесь не применима , Вы можете прочитать больше здесь [1311.0765] Дао Этого и Бита, и здесь для более подробной информации [1607.02076] Вселенная не помнит коллапса волновой функции.

Я остановлюсь здесь. Эти примеры призваны показать разницу между тем, как математики и (некоторые) физики видят само понятие доказательства. Физики могут очень хорошо знать математику, так почему это? Я могу думать только об одном: (а) использовать математическое мышление как простой инструмент.

Как сказано в другом ответе, ответ Бруно Марчала на «Что получают математики», чего физики обычно не получают? , математика отбрасывает назад, это реально. Я не знаю, сколько математиков согласятся с этим и сколько физиков. Но вот некоторые мысли о математике и реальности:

[1512.03279] И математика освободит тебя

https: //www.researchgate.net/pub ...

Сеть Индры - голоморфная фундаментальность Кристинель Стойка

Обновить

Основываясь на некоторых отзывах, которые я получил здесь и в других местах, я думаю, что должен кое-что прояснить. Я не говорю, что кто-то должен прекратить делать то, что он делает, потому что это еще не идеально. Это застряло бы нас навсегда. Я тоже работаю над несовершенными вещами в физике.

В физике вы можете исследовать только одну вещь: физический мир. В математике, если вы застряли, у вас есть много других вариантов. Так что в физике, если вы не можете продвинуться, будучи слишком строгими, вам нужно будет сделать скачок. В математике вы можете просто изменить объект, который вы исследуете. Но вы можете не хотеть, вы можете добиться прогресса в конкретной проблеме. В этом случае вы можете сделать это, но, как обычно, очень осторожно, четко указав условия, при которых применяются ваши результаты. В физике вы можете избежать этого. Даже если статья, открывающая направление исследования, может тщательно указывать эти условия, может случиться так, что они не повторяются снова и снова в статьях, пытающихся продвинуть его, иногда по практическим причинам, иногда из-за слишком большого энтузиазма. Но я думаю, что это понимание границ применимости важно. Тем не менее, может существовать социальный стимул, чтобы скрыть пределы ваших результатов: рефери часто требуют особенно новых указаний, чтобы уже иметь все ответы, в то время как более старые, где тысячи статей уже опубликованы, но не достигли прогресса, благополучный.

Я ни в коем случае не пытаюсь этим отрезать физикам свои крылья. Я не думаю, что физики должны прекратить то, что они делают, я делаю то же самое. Просто будьте ясны о том, что работает, а что нет, или еще не доказано, что делать. Не претендуйте на решение проблемы во всех случаях, когда это просто игрушечная модель. Поиграйте с ним и опубликуйте об этом столько, сколько хотите, но будьте ясны. Закрывая глаза на эти ограничения, мы оставляем место для ошибок и вводим в заблуждение других исследователей и самих себя. И мы вводим двойные стандарты, такие как отказ от некоторых указаний на наличие некоторых проблем, и поощряем другие направления, имеющие такие же проблемы.

И также само собой разумеется, что я не утверждаю, что математики превосходят физиков, мы даже не можем их сравнивать, потому что это разные области с разными критериями.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
468

Математики, как правило, иначе видят роль математики в физике.

Математики рассматривают математику как способ изучения и понимания физики. В моем образовании я держал свою математику примерно на два года впереди своей физики Это значительно облегчило изучение физики. Это также дало мне более четкое представление о концептуальных основах физики. Например:

Рассмотрим цифры, лежащие в основе науки.
* Натуральные числа {1,2,3,…}, вероятно, были изобретены пещерными людьми, считающими камни.
* Целые числа {… -2, -1,0,1,2,…} были придуманы, чтобы считать вещи, когда вы должны больше, чем имели; или просто вычислить 2 минус 4.
* Рациональные числа предполагают, что вещи, которые вы считаете, могут быть неопределенно разделены на части, которые имеют те же свойства, что и целое. Применение этого предположения к физике является примером антропоцентрического мышления: оно предполагает, что то, что кажется человеку правильным, работает на всех уровнях. Вроде как думать, что земля плоская, или земля - ​​центр вселенной.
* Действительные числа заполняют дыры в строке рациональных чисел. Например, в действительных числах sqrt (2) является пределом последовательности {1, 1.4, 1.41, 1.414,…}. Вещественные числа позволяют нам решить полиномиальное уравнение x ^ 2 -2 = 0; рациональные числа не могут обеспечить решение. Вещественные числа определяются как пределы процессов с бесконечным числом шагов.
* Комплексные числа {a + bi, где a, b действительные, а i ^ 2 = -1}, позволяют нам решить полиномиальное уравнение x ^ 2 + 1 = 0. Комплексные числа делают большой отход, который имеет отношение к физике: Все предыдущие числа могут претендовать на измерение количества массы, длины, времени, заряда и количеств, полученных из них. Комплексные числа не измеряют основные физические величины, по крайней мере, не таким же образом.
* Топология обобщает понятия связности, предела, границы и размерности в ситуациях, когда чисел вообще нет. Калибровочная теория является приложением фундаментальных идей современной дифференциальной геометрии. Современная теория была начата Бернардом Риманом с его диссертацией в 1854 году. Эли Картан добавил мощную концептуальную структуру, которая позволяла описывать кривизну с помощью дифференциальных форм, в частности «форм связи», которые описывают параллельные переводы.
Все силовые поля современной физики - гравитация, сильные адронные силы, слабые и электромагнитные силы, силы между кварками и спин-спиновые контактные силы в теории Эйнштейна-Картана (еще не измеряемые) - лучше всего описываются как тензоры кривизны законов параллельности перевод на волоконные пучки. Этот вид концептуального фона облегчает нестандартное мышление в физике.

Я полагаю, что большинство физиков рассматривают экспериментальные результаты как лучший способ учиться и понимать физику. Соглашение с экспериментом стало «бритвой Оккама», которая позволяла физикам отделять правду от спекуляций в течение по крайней мере полутора тысячелетий. Большинство физиков рассматривают математику как грязные вещи, которые вы делаете, чтобы извлечь числовые предсказания из теорий, поэтому вы можете проверить или опровергнуть теорию с помощью эмпирических результатов. Мой научный руководитель в Беркли сказал мне: «Мы не можем преподавать физику специальностям всю математику, которую вы знаете; это заняло бы слишком много времени ». Они практически не желают принимать изменение или расширение базовой теории, основанной на математическом выводе результата из общепринятой теории, но без эмпирических данных. (Сначала я думаю о выводе теории Эйнштейна-Картана из общей теории относительности, которую я обсуждал в других статьях.) Математические выводы не включают в себя такие результаты, как общая теория относительности; это должно было быть подтверждено эмпирическими результатами. Он также не включает бозон Хиггса, математические аргументы которого были опубликованы около 1964 года; теория включила известные результаты в более крупную структуру; это все еще должно было быть подтверждено эмпирическими результатами, более 45 лет спустя.

В течение большей части 20-го века в физике доминировал широкий и устойчивый поток вычислительных моделей важных физических проблем, основанных на квантовой теории. Большинство дорог к владению было проложено новыми вычислениями и объяснениями важных явлений, основанных на квантовой теории. Наше понимание основ квантовой теории продвигалось очень медленно, и мы до сих пор не понимаем этого (вероятно, на мой взгляд, потому что квантовая теория опирается как минимум на одну базовую концепцию, которую мы еще не выяснили).

Когда молодой Джон Белл (который разработал неравенства, которые проверяли, является ли квантовая механика истинной) обратился к Фейнману за руководством, Фейнман сказал ему, пренебрежительно (перефразируя): «Когда вы думаете, что у вас есть аргумент, почему квантовая механика неправильна, принесите его мне и Я объясню, почему это неправильно.

Эта ситуация отражена в двух известных «звуковых фрагментах» о квантовой теории.

Считается, что Фейнман сказал: «Если вы думаете, что понимаете квантовую механику, вы не понимаете». В прошлом веке неофициальный девиз квантовых физиков был «Заткнись и вычисли!» Другими словами, огромный диапазон новых Модели могут быть получены с помощью квантовой механики, в то время как прогресс в понимании основ был чрезвычайно медленным.

Большинство величайших прорывов в теоретической физике были основаны на математике, которая ранее не была частью физики или ранее не известна.

Ньютон изобрел исчисление, потому что он нуждался в нем в его новой механике кинематики (положение, скорость, ускорение), импульса (линейный импульс, энергия и угловой момент) <и сил (прежде всего гравитации в то время). (1670 ...). Максвелл развернул многомерное векторное исчисление, чтобы описать объединенное электромагнитное поле и силу. (1860–1870) Планк использовал статистическую механику, чтобы решить загадку распределения излучения черного тела и основать квантовую механику. (1900) Эйнштейн использовал псевдориманову дифференциальную геометрию для описания гравитации. (1915–1917) Шредингер разработал волновое уравнение для сложных волновых полей, которое стало объединяющей формулировкой квантовой механики (1925). Герман Вейль использовал прогресс в дифференциальной геометрии (связи на расслоениях с унитарной группой U (1)), чтобы переформулировать электромагнетизм так, чтобы он хорошо соответствовал волновым уравнениям квантовой механики (1929). Ян и Миллс использовали унитарную группу SU (2) для описания сильных сил между протонами и нейтронами (1954). Геллман и другие использовали больший унитарный SU (3), чтобы описать сильные силы среди адронов и ввести кварки (из которых сделаны тяжелые частицы). Это превратилось в «Стандартную модель» физики высоких энергий (1961 - 1970-е годы).

Экспериментальные результаты лидировали. Как сказал Эйнштейн (перефразируя), удивительно, что физический мир так чувствителен к методам математики.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
455

Математики «получают» гораздо быстрее, чем им нужно, чтобы продать свои навыки и показать, что они полезны. У физиков есть такие вещи, как нейтронные бомбы и лазерные лучи, а также микроволновые платформы, чтобы доказать свою ценность, и это делает их ленивыми. Если вы говорите людям, что хотите изучать абстрактную высшую математику как чистую форму искусства, удачи вам в этом. Я знаю парня, работающего в книжном магазине в Йоханнесбурге, который был на грани доказательства дзета-гипотезы Римана в течение последнего десятилетия, вы всегда можете пойти выпить кофе и поболтать с Вуди, если это не сработает.

Я обучался прикладной математике в университете Витватерсранда, и мы должны были немного лучше относиться ко всем, надо сказать, потому что (а) люди сажали динамит в туннелях под тремя километрами сплошной породы на основе наших расчетов, каждый день, и взорвать его. Ты хоть представляешь, какое давление на этой глубине? И как глупо запускать там крупные взрывы, самые глубокие мины в мире? Хотели бы вы подписаться на график взрыва с тысячами мужчин, работающих в этих туннелях? Неудивительно, что изучение техногенных землетрясений началось в Йоханнесбурге; и (b) Мы использовали все, что могли, только чистую математику, в том числе самые совершенные гильбертовы пространства для решения задач в области электротехники и сложные топологии для решения проблем повсюду. Мы полагали, что понимаем этот материал лучше, чем чистые математики, которые всегда насмехались над нами из-за нашей «нехватки строгости», потому что мы ломали вещи с компьютерами, если не было другого выбора.

Вероятно, самым строгим лектором, которого я когда-либо читал, был профессор Бойд, наш постоянный эксперт по актуарной математике. Актуарии являются одними из самых высокооплачиваемых профессионалов в мире, и профессор Бойд был привратником для всех, кто пытается выйти на поле в Витс. Поэтому многие студенты относились к его курсам чрезвычайно серьезно.

Профессор Бойд был одним из тех нервных людей, которые могли точно сказать классу, сколько из нас погибнет через десять лет, и что, дорожно-транспортные происшествия, самоубийство. И бесстрастно оглядывал класс в очках в черной оправе и говорил: «Я просто не знаю, какие».

Насколько я помню, и я искренне желаю, чтобы у меня были записки на втором курсе: он начал с того, что показал вам, что либо что-то произошло, либо этого не произошло. Если этого не произошло, это очень многое произошло. Так что всегда что-то происходит, особенно если ничего не происходит.

Что-то такое. Это был чистый Дуглас Адамс.

Затем он показал вам, если вы правильно поняли, что именно эта логика лежит в основе математических принципов «плюс» и «равно». Это была даже более примитивная логика, чем «1 + 1 = 2». Это говорило, как «1.» Это было действительно ужасно, тот странный мир, где вы с большой точностью измеряете, насколько вы неточны.

Профессор Бойд всегда начинал лекцию, систематически выкладывая ряд цветных мелков, которые он использовал для подготовки своих безупречных заметок на доске. У него была нервная привычка всегда поворачивать свое тело, чтобы смотреть на тебя, а не только на голову, поэтому у него была слегка роботизированная аура. Мы все были в полном страхе и страхе перед ним.

Когда он предположительно покончил жизнь самоубийством в 2005 году, спрыгнув с балкона над центральным залом Витса и рухнув на этаж столовой внизу, я сразу заподозрил, что отставной профессор падает на смерть из здания Витса. Во-первых, в то время как профессор Бойд мог сказать вам точную вероятность того, что он уйдет на пенсию, он, должно быть, был одним из самых неожиданных кандидатов, просто из-за его мастерства в Odds. Главное, однако, было то, что я был на 100% уверен, что если бы он действительно решил выполнить свою статистическую судьбу таким образом, он бы выбрал гораздо более аккуратный и аккуратный метод.

Несколько лет спустя я загадочно поболтал в таинственном месте с загадочным парнем из отдела физики, я никогда не спрашивал его имени и он никогда не предлагал его. Знал все обо мне и всех остальных. Поэтому мне пришлось спросить о профессоре Бойде. Я сказал, что он был последним человеком на земле, которого я ожидал покончить с собой.

«Это всегда мог быть один из его учеников», - был немедленный ответ. И я должен был согласиться, это была возможность, потому что не было никакого способа обойти профессора Бойда: он был одним из абсолютов жизни в этом университете.

«Но он был известен как приверженец стандартов», - продолжил мой загадочный друг, очень тщательно формулируя это утверждение. И намекая на то, что в ту же роковую ночь там, в верховьях Сенат-хауса, могла быть какая-то встреча совета, академическая администрация с видом на столовую внизу. В котором обсуждалась тема стандартов и как они теперь будут падать, как целесообразно.

Теперь вы либо знаете, что происходит в Wits, либо нет; но за последние несколько лет в этом кампусе произошли серьезные беспорядки, связанные с «платой» и «стандартами», а также «допуском», «доступом», «общежитиями» и «расизмом», и кто знает, что еще. И все, кого я знаю в Wits (не так уж много людей, но несколько историй, в частности, из инженерных наук), говорят, что стандарты в этом университете, как правило, резко упали. Что очень жаль. Я оказывал там академическую поддержку по физике в течение 1983–87 гг., Работая с первым реальным притоком чернокожих студентов, и мы придерживались очень высоких стандартов.

Когда один и один неожиданно достиг одиннадцати, было вот что: если бы я знал одного ученого, который не прогибался бы до малейшего отклонения от самых высоких стандартов, это был профессор Альберт Бойд. И время от времени я задавался вопросом, стоила ли его математическая строгость ему очень дорого. Было полицейское расследование, но я никогда не слышал ни слова об этом трагическом случае. Мне все еще интересно, что там происходило на одиннадцатом этаже Сенатского дома той ночью.

Это предостерегающая история для любого, кто идет по пути, так хорошо описанному в книге Глейка «Хаос», для кого-то, кто выглядит физиком как хороший математик, и как математик, как хороший физик, и, конечно, ни одна из сторон не хочет иметь с вами ничего общего и просто Хотел бы ты уйти. Вы находитесь в очень опасной ничейной стране. Держись крепко за свою душу, если ты решишь проследить за деньгами, это все, что я скажу. И учитесь быть очень гибкими в вопросах стандартов, когда наступает время пуша.

Здесь будет больше, чем несколько математиков, которые «поймут» то, что я говорю, вы легко их заметите, именно они будут мудро молчать. Те, кто в книжных магазинах, будут еще тише, они знают, что их большой прорыв может произойти в любой момент. Затем они получат звонок от ЦРУ, и их отправят на подводную лодку: кто-то, наконец, поймет их ценность.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
329

Похоже, что Бруно Маршал прав. По крайней мере, этот физик понятия не имеет, что он сказал.

Физики очень хорошо знают, что физика не реальность. Физика - это просто конструкция, которая приближает реальность. По мере развития физики она становится все ближе и ближе к реальности. Одним из способов сделать это явным является «эффективная теория поля».

А лично не считаю математику реальностью вообще. (Это все довольно неаккуратная терминология.) Математика - это просто конструкция. Я также думаю, что Гедель и Коэн ясно дали понять.

Тем не менее, я также думаю, что математики обычно привыкли к гораздо более высокому уровню абстракции, чем физики. Я знаю, что в моих собственных исследованиях были области математики, которые были настолько абстрактными, что мой ум, казалось, никогда не оборачивался вокруг них. Я мог понимать и даже наслаждаться аксиоматической теорией множеств, но по какой-то причине теория категорий была слишком расплывчата для меня. Я никогда не видел смысла. Алгебраическая топология тоже довольно близка к этому. Мой мозг был намного счастливее от реального и сложного анализа и дифференциальной геометрии.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
263

Будучи студентом, я провел непропорционально много времени со студентами-физиками и физиками, которые были близки к тому, чтобы быть математиками, поэтому, по моему опыту, разница между математиками и физиками немного меньше, чем, вероятно, в целом. Трудно быть уверенным в том, насколько сильно люди отличаются друг от друга в связи с их профессией, и насколько это зависит от их индивидуального мировоззрения. Среди людей, близких к границе между двумя полями, кажется, что то, что вы видите, - это, в основном, разница в акцентах.

Первое отсутствие понимания, которое приходит на ум, - это пара неправильных представлений, по крайней мере, у некоторых людей. Я не уверен, что это настолько специфично для физиков, как просто для нематематиков в целом.

Нужно видеть, что математика гораздо менее гибкая, чем она есть. У меня был профессор по электричеству и магнетизму, который иногда говорил «математик скажет…» в тех случаях, когда я уверен, что математик обычно так не говорил. Он сказал, что математик скажет, что у e x e x e ^ x нет преобразования Фурье, в то время как он сам спросит, какой вещью можно считать его преобразование Фурье. Математик в гармоническом анализе насмехался над этим замечанием. «Массаж» определения «преобразования Фурье» вполне соответствует математической практике. Фаза, в которой дельта-функция Дирака использовалась физиками, но еще не стала строгой математиками, могла бы создать у физиков впечатление, что они обладают постоянным преимуществом в плане гибкости в отношении понятия «функция». К настоящему времени уже давно стало обычным делом иметь в своем распоряжении большое разнообразие «функциональных пространств». Математики также, как правило, лучше знакомы с ними.

Другой заключается в предположении, что когда есть математическая проблема, это больше «просто техническая проблема», чем она есть. В одном из выступлений я однажды услышал анекдот о явлении в квантовой механике, которое впервые оценили математики, поскольку оно включало понятие «монодромия». Монодромия - это то, что не проявляется в локальном пертурбативном анализе (как это часто делается в физике), потому что это происходит из-за того, что система следовала по более длинному циклу, который возвращает ее в другое состояние, чем то, в котором она начиналась, даже если все маленькие петли вернут его в одно и то же состояние. У одного физика, по крайней мере, было первоначальное впечатление, что это была некая математическая техническая составляющая.

Чтобы быть справедливым, я должен сказать, что физики, как правило, довольно сложно говорят о взаимодействии между математикой и физикой, особенно те, которые используют много математики. Они проводят много времени, работая с тем, что, как они знают, являются лишь приблизительными моделями, и требуют понимания того, когда особенность их модели обусловлена ​​ее приближенностью или нет. В последние годы распространялась история об одной из ошибок Эйнштейна, и в некотором смысле это ошибка противоположного типа. Он думал, что трудность, с которой он столкнулся, была доказательством того, что гравитационное излучение не предсказывается общей теорией относительности, тогда как на самом деле это была проблема с его системой координат. Опыт постепенно помог физикам быть готовыми к таким ситуациям. Однако следует понимать, что математическая строгость делает то же самое для вас. Как математик, рассматривающий такой аргумент, вам должно быть относительно ясно, что система координат воспринимается как должное.

Я думаю, что физики, скорее всего, чаще видят математику в целом, как будто она уже «техническая аппаратура». Многим нематематикам трудно воспринимать математику как значимый язык в той степени, в которой он существует. Когда математики говорят математические вещи, нам больше нравится говорить на родном языке. Математики более склонны к тому, что философы математики называют «реализмом» по отношению к математике. Мне нравится разделять «реализм» в математике на понимание того, что математический язык имеет смысл, и второй набор предположений о природе математической реальности. Мое собственное мнение решительно поддерживает первую половину и относительно скептически относится ко второй. Типичный математик, насколько я могу судить, вполне согласен с реализмом в обоих отношениях.

Современные результаты математической логики говорят об этом меньше, чем думают некоторые. Теоремы Гёделя о неполноте ссылаются только на тот тип математического утверждения, с которым нам труднее всего не быть реалистами: согласованность системы аксиом, существование решений задач с натуральными числами и тому подобное. Эти истины вряд ли кажутся относительными. Предположим, у нас есть система S S S, подобная той, которую Гедель рассматривал в своих работах (расширение «системы Principia Mathematica»). Если S S S действительно несовместимо, оно несовместимо для всех. Если S S S непротиворечива, она непротиворечива для всех (несмотря на то, что она не может сформулировать доказательство этого факта). Если S S S непротиворечива, мы можем, следовательно, добавить к ней аксиому, которая говорит, что S S S не непротиворечива, не делая ее непоследовательной. Эта получающаяся в результате система S + S + S + «S S S непоследовательна» является тогда непротиворечивой системой с аксиомой в ней, которая ложна, если мы понимаем, что речь идет о натуральных числах, потому что она подразумевает, что она сама является непоследовательной.

Доказательство Коэном независимости гипотезы о континууме от системы аксиом ZFC (если ZFC на самом деле непротиворечива, что, безусловно, так и есть) гораздо чаще воспринимается как признак того, что потенциально существуют как минимум одинаково подходящие вселенные теории множеств, в которых она верно и в котором оно ложно. Я не согласен с этим, но среди математиков мнение о гипотезе о континууме, по крайней мере, гораздо больше, чем о предложениях, построенных в теоремах Гёделя о неполноте.

К счастью, детальная теория множеств континуума кажется почти совершенно не относящейся к физике. Безусловно, самый нормальный случай в физике - иметь теорию, в которой в принципе можно было бы либо вычислить результат из начальных условий, либо, по крайней мере, вычислить вероятность каждого результата с любой требуемой точностью. Это ставит математические утверждения, представляющие непосредственный интерес для физики, почти всегда в одну категорию с утверждениями о вычислениях. В них мало что можно найти философски шатким. Одно из главных различий между математическим реалистом и математическим конструктивистом заключается в том, что когда мы рассматриваем вопрос типа «является ли система SSS согласованной» или «останавливает ли это вычисление», реалист думает, что ответ каким-то образом уже определен, даже если мы не знаю что это. Конструктивист не считает, что ответ нужно считать уже существующим. Однако, если есть ответ, они думают, что ответ для них такой же, как и для вас и меня. Я думаю, что математики редко сомневаются в этом.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
229

Доказательство.

Я знаю, что физики знают, что такое математическое доказательство, но они (не все - я обобщаю здесь) «ведут себя» так, как будто они не «получают» его. Они часто говорят, что вещи являются правдой / фактом только потому, что они кажутся основанными на доказательствах. Они знают, что это не обязательно так, но утверждают, что это так. Математик не может этого сделать.

Все время мы видим такие утверждения, как «(поверхностная) температура звезды A - это B», «звезда C - это D световых лет от Земли» и т. Д.

Как математик, я не могу предъявлять подобные требования, не излагая свои аргументы, заявляя что-то вроде «Теория Т говорит, что -», и даже тогда я не могу сказать, что это правда. Это может показаться утомительным и ненужным для большинства людей, но это моя точка зрения. Для математика логика совершенно необходима, какой бы скучной она ни была, и мы не можем сказать, что это правда, если она не доказана.

Я осмелюсь сказать, что никто никогда не сможет измерить температуру звезды, и никто никогда не сможет измерить расстояние до звезды. Эти физические «измерения» основаны на наблюдениях и теориях. Для этих вещей мы можем сказать только то, что считаем правильным, но мы не можем сказать, что это так. Например, мы даже не можем сказать, что звезда X находится между звездами Y и Z. Мы можем только сказать, что она выглядит так, как она есть. Мы можем только сказать, что мы наблюдаем или выводим.

Я не хочу никого обидеть, но меня это действительно раздражает, потому что я математик. Возможно, многие физики тоже со мной согласны. Некоторым физикам очень удобно предъявлять претензии без доказательств, и они ожидают, что все остальные поверят им, поскольку теория, на которую они полагаются, была принята, по их мнению, как наиболее правдивая путем всенародного голосования или только ими самими. Иногда они думают, что чем громче они кричат, тем правдивее становится их утверждение.

Физиков можно извинить за то, что они проповедуют свои заявления, поскольку они не могут позволить себе роскошь что-либо доказывать, но, на мой взгляд, это не извиняет их за то, что они не всегда приводят свои аргументы. Если вы собираетесь подать заявку, подкрепите ее убедительной логикой.

У математики есть роскошь доказательства - она ​​действительно этого требует. Утверждение либо верно, либо ложно. Утверждение, которое считается верным, но бездоказательным, является лишь догадкой. Физика требует только массового согласия толпы времени, но в настоящее время общепринятая физика всегда пересматривается. Старые теории могут быть заменены новыми. Физические утверждения всегда будут оставаться гипотезой.

Физики будут спорить друг с другом: «Это не так, это так, моя теория верна, а ваша нет». Математики не спорят о том, что правда. Если доказательство истинности утверждения существует, то утверждение верно. Там не может быть никаких споров о его правде.

Чтобы было ясно, я уверен, что и математики, и физики «поймут», что вы не можете утверждать истинность утверждений без доказательств. Вы можете только сказать, что вы думаете, что это правда, основываясь на ... и признать, что это всего лишь догадка. Однако, хотя математики физически не могут сказать, что что-то является правдой, если это не доказано, физики, кажется, способны делать это все время без проблем.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
176

Эта математика не зависит от реальности.

Чтобы узнать, как инженеры, физики и математики смотрят на мир, посмотрите мой ответ на вопрос: диктует ли математика вселенную или вселенная диктует математику?

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
139

Из моего предыдущего опыта общения как с одноклассниками, которые были математиками, так и с физиками:

Математики понимают, что для чего-то требовать (например, в теореме) вам нужно доказать это во всех славных деталях. Тем не менее, мои коллеги-физики скорее сосредоточились бы на прикладной части уравнений и были бы небрежны в предоставлении надежной основы для того, что они делают.

Технически я не математик и не физик сейчас ... так что это устаревшая точка зрения.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
128

Идея, что математика отбрасывает назад, и сама по себе реальность, а не просто язык. Эйнштейн получил идею, в конце концов, в конце своей жизни, после многих разговоров с Геделем. Но даже математики забыли это во времена платоников; «Математик» означало «скептически относиться к тому, что физическая реальность - это реальная вещь». Сегодняшние математики и физики могут не знать, что первоначальные сомнения тех, кто создал науку, включая теологию / метафизику, сомневались в онтологическом примитивном существовании физической вселенной и в физикализме. Термин «Бог» был прозвищем того, что существует по определению, но неизвестно, и действительно является предметом дискуссий и исследований, когда мы хотим быть серьезными в этой области.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
122

Как двойник по математике и физике, я бы сказал, что по физике гораздо удобнее делать аппроксимации, что делает их немного лучше в практических прикладных задачах. Специалисты по математике, как правило, лучше разбираются в техническом понимании математики. В электричестве и магнетизме «функция» Дельты Дирака сводила меня с ума из-за того, что теория была настолько слабой У вас много общего между ними. Вы можете покрыть гораздо больше, если не увязнуть в точках с каждым я и пересекаете каждый т.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
121

Я не уверен, что это правильный способ выразить это. Математики и физики различаются по подходу. Не то, чтобы кто-то из них ничего не «получил».

Например: математики могут раздражаться, что физики не всегда определяют вещи с достаточной строгостью. Физика полна приближений и нечетких определений. Но это инструмент, который помогает физике понять реальность. Средний физик знает, что у нас есть только предварительное понимание, и мы нащупываем более ясное, используя игрушечные модели, приближения, эксперименты. Иногда отсутствие строгости проблематично и приводит к нечеткому мышлению, но в других случаях это может быть полезно. Например, есть вещи, которые вы можете выразить как первые термины в серии Тейлора. Это не даст вам точную правду, потому что вам понадобятся все термины для полного описания. Но этого достаточно, чтобы дать вам полезное описание реальности.

Поэтому я бы сказал - некоторые физики недостаточно понимают важность строгости и точности, а некоторые математики не понимают, что этот недостаток может быть продуктивным.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
91

Я бы сказал, что следующее является скорее «тенденцией мировоззрения дисциплин», чем универсальным различием между их практиками: физика имеет тенденцию назначать основную «реальность» и «причинность» для математики, используемой для моделирования явлений, тогда как математик может быть менее склонен к этому, т. е. был бы более склонен сказать что-то вроде: «вещи есть то, что они есть - математика является« просто »полезным способом кодифицировать наблюдаемые закономерности и делать точные предсказания, но не более чем что." Но я уверен, что есть много, много исключений из этого чрезмерного обобщения, когда речь идет об отдельных физиках и математиках. А что касается того, какая точка зрения верна, то это компетенция философов. :-)

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
70

Математики отличаются от физиков и всех других ученых и инженеров. Они видят физические проблемы и явления как математические по своей природе. Таким образом, их взгляд на вещи совершенно отличается от тех из нас, кто работает на скамейках и видит работу перед нами. Математики разбираются в числах, связанных с физическими измерениями: они «получают» количественные взаимосвязи и могут видеть отношения, которые не очевидны для физиков.

Часто приходят с подходами, которые кажутся смешными, но в итоге работают отлично. Они могут видеть ответы в дифференциальных уравнениях, которые авиационный инженер или планировщик орбитальных разработок не могли даже написать, а тем более решить.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
59

Ответ TL; DR: что, если они придерживаются того, что предлагают что-то между чрезвычайно трудным и невозможным доказать или опровергнуть экспериментально (например, теория струн), они могут получить гораздо больше пробега из них.

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
41

Шутка может объяснить это:

Математику и физику задают один и тот же вопрос: как вы рассуждаете о четырехмерных пространствах?

Физик отвечает: «Ну, я просто визуализирую трехмерное пространство, а затем представляю, что четвертое измерение - это время».

Математик отвечает: «Ну, я просто визуализирую n-мерное пространство, а затем представляю, что n = 4»

ответил(а) 2020-04-06T13:04:49+03:00 1 год, 5 месяцев назад
Ваш ответ
Введите минимум 50 символов
Чтобы , пожалуйста,
Выберите тему жалобы:

Другая проблема